28.7.14

Mantik Menurut Dua Teori Asas Sains Fizikal Bhg 3

(Sambungan dari Bhg Kedua)
Catatan: Makalah asal telah ditambah dengan sedikit penjelasan tambahan.

2.3. Isu Aspek Ruang (Spatial) Bagi Masa

Antara perkara yang menjadi perdebatan pada awal pembentukan teori kenisbian adalah menjadikan masa seolah-olah sebagai satu koordinat ruang (setara dengan koordinat ruang lain). Aspek ini lama-kelamaan diterima ramai oleh komuniti fizik disebabkan pengesahan eksperimen kecuali mereka yang membuat penyelidikan dalam asas-asas ruang-masa dan kenisbian.

Apabila teori kenisbian umum berkembang pesat dengan muncul penyelesaian-penyelesaian baharu bagi persamaan Einstein (persamaan gerakan bagi medan graviti), ada suatu perkembangan yang agak menarik. Dalam tahun 1940-an, Einstein menerima sahabat baru di Princeton, iaitu Kurt Gödel.[12] Gödel merupakan seorang ahli mantik tersohor dan dikatakan sebagai Aristotle kurun ke-20. Penyelidikan termasyhur beliau ialah mengenai teorem ketidaklengkapan (Incompleteness Theorem) yang rata-rata menyatakan kebenaran (truth) itu berbeza daripada kebolehbuktian (provability), suatu keputusan yang mempunyai aspek metafizik.

Pertembungan Einstein dengan Gödel membawa kepada persoalan sama ada mereka pernah saling menyelidiki topik penyelidikan antara satu sama lain. Bagi Gödel, beliau sememang telah menerbitkan satu penyelesaian persamaan Einstein yang bertajuk “An example of a new type of cosmological solution of Einstein's field equations of gravitation”.[13] Penyelesaian ini agak sukar untuk dijelaskan sepenuhnya tetapi unsur penting yang menjadi asas penyelesaian Gödel ini adalah aspek ruang masa itu sendiri. Dengan memberi ciri putaran kepada kedua-dua koordinat masa dan ruang, Gödel mampu menghasilkan penyelesaian di mana wujudnya lengkungan ruang-masa bersifat bak masa yang tertutup (lihat lengkung biru dalam Rajah 4). Ini bermaksud masa silam di depan masa akan datang dan masa akan datang di belakang masa silam! Bagi penulis, keganjilan ini sepatutnya tidaklah menghairankan memandangkan status ruang telah diberikan kepada masa dan satu aspek ruang yang kita sedia maklum adalah kebolehan untuk bergerak ke mana-mana kedudukan tanpa had dari aspek arahnya. Yang menjadikan ia lebih menarik bagi penulis adalah terbukanya perspektif peristiwa masa akan datang boleh menentukan peristiwa masa lepas (berbanding andaian lazim sebaliknya). Ini seolah-olah menyaran aspek pratentuisme atau taqdir (secara longgar) dan tidak mengikat diri dengan arah masa yang tunggal sepertimana andaian lazim. (Catatan: dalam pertimbangan lazim persamaan gerakan fizik juga tiada arah masa ditentukan.)




Rajah 4: Alam semesta berputar hasil penyelidikan Gödel. Lengkung biru menunjukkan lengkung bak masa yang tertutup. (Sumber: [14])

Penyelesaian lengkung bak-masa tertutup seperti yang ditemui oleh Gödel sebenarnya menimbulkan keraguan semula aspek ruang bagi masa di kalangan ahli teori. Namun Gödel sendiri tidak pergi sejauh menyatakan formalise teori kenisbian ini tidak lengkap (seperti beliau lakukan untuk Teorem Ketidaklengkapan yang masyhur), malah Gödel sendiri menggunakan penemuan ini untuk menyokong pendapatnya tentang abadisme (semua masa adalah setara) melawan fahaman kinisme (hanya waktu kini sahaja yang nyata). Perlu ditekankan apa yang dilakukan oleh Godel bukan perkara remeh yang sengaja ditimbulkan daripada aspek ruang bagi masa. Penemuan penyelesaian lengkung bak-masa tertutup adalah tidak semudah itu kerana perlu mengambil kekangan teori kenisbian umum (yang melibatkan graviti). Sejak penemuan Gödel, banyak lagi penyelesaian persamaan Einstein yang mengandungi lengkung bak-masa yang tertutup telah ditemui oleh penyelidik lain seperti lelohong kerawit (wormholes).[15] Komuniti ahli fizik kurang selesa dengan perkembangan ini kerana kemungkinan adanya paradoks masa. Dengan itu Hawking sendiri telah membuat Konjektur Perlindungan Kronologi[16] yang menyatakan bahawa penyelesaian lengkung bak masa tertutup dibenarkan tetapi pengembaraan masa (secara makroskopik) tidak dibenarkan. Alasannya, jika tidak, sudah tentu kita menerima pelawat dari masa akan datang yang ramai. Cukupkah dengan konjektur ini untuk memastikan pemantapan mantik teori kenisbian?

2.4. Kekangan Kronologi

Dalam subseksyen sebelum ini, kita telah menumpu kepada lengkung bak-masa (dan juga bak cahaya) untuk membina suatu mantik bersebaban berdasarkan struktur kon cahaya. Tiada perhatian diberi kepada peristiwa bak ruang memandangkan diketahui bahawa jika kita pertimbang dua peristiwa bak ruang A dan B, terdapat rangka-rangka rujukan yang boleh dicari supaya masa peristiwa A, tA dan masa peristiwa B, tB supaya tA < tB atau tB < tA iaitu tiada tertib masa yang khusus dan mantik yang bentuk hanya antara peristiwa bak masa dan peristiwa bak cahaya. Apakah tiada langsung aspek tertib dalam bagi peristiwa di luar kon cahaya? Bagaimana aspek sedemikian dapat diselaraskan dengan aspek tertib dalam rantau kon cahaya?

Baru-baru ini, Shapere dan Wilczek[17] telah mengkaji apa yang berlaku sekiranya lebih daripada dua peristiwa bak ruang dipertimbangkan. Mereka menemukan suatu yang di luar jangkaan ahli fizik selama ini bahawa terdapat kekangan kronologi yang mungkin muncul untuk tiga atau lebih peristiwa bak ruang dipertimbangkan. Dalam kes tiga peristiwa bak ruang A, B dan C, ada kemungkinan ketiga-tiga peristiwa ini membentuk satah yang boleh mengandungi vector bak masa (lihat Rajah 5). Apabila demikian, wujud kekangan terhadap tertib masa ketiga-tiga peristiwa ini iaitu sama ada (i) tA < tC < tB atau tB < tC < tA  atau (ii) tC < tB < tA atau tC < tA < tB . Kekangan antara peristiwa bak ruang sedemikian membuka lembaran baru untuk kajian mantik bagi peristiwa-peristiwa bak ruang ini. Apakah pula bentuk mantik yang muncul dengan menggabungkan ketiga-tiga jenis peristiwa ini sekali gus? Sudah pasti mantik rangkaian peristiwa di dalam dan di luar kon cahaya bukanlah seperti yang terdapat pada rantaian sebab-musabab yang linear.





Rajah 5: Peristiwa bak ruang A,B,C membentuk satah mengandungi vector bak masa.


Rujukan:

  1. Roger Penrose, The Emperor’s New Mind – Concerning Computers, Minds and the Laws of Physics, (Vintage, London, 1990).
  2. Paul Weingartner (ed.), Alternative Logics – Do Sciences Need Them?, (Springer, Berlin, 2003).
  3. Johan van Benthem, Gerhard Heinzmann, Manuel Rebuschi & Henk Visser (eds.), The Age of Alternative Logics – Assessing Philosophy of Logic and Mathematics Today, (Springer, Dordrecht, 2009).
  4. Barnabas Bede, Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic, (Springer, Berlin, 2013).
  5. Lotfi A. Zadeh, “The Birth & Evolution of Fuzzy Logic”, Int. J. General Systems 17 (1990) 95-105.
  6. Petr Hajek, “Many-Valued Logic and Fuzzy Logic”, J. Indian Council Phil. Research (Special Issue) 2 (2010) Part 6, Art. 6. 
  7. A.G. Hamilton, Logic for Mathematicians, (Cambridge University Press, Cambridge, 1988).
  8. Ray d’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity, (Clarendon Press, Oxford, 1998).
  9. E.C. Zeeman, “The Topology of Minkowski Space”, Topology 6 (1967) 161-170.
  10. S.W. Hawking, A.R. King & P.J. McCarthy, “A New Topology for Curved Space-Time Which Incorporates the Causal, Differential and Conformal Structures”, J. Math. Phys. 17 (1976) 174-181.
  11. Marco Aiello, Ian Pratt-Hartmann & Johan Van Benthem (eds.), Handbook of Spatial Logics, (Springer, Dordrecht, 2007).
  12. Palle Yourgrau, Godel Meets Einstein, (Open Court, Illinois, 1999).
  13. K. Godel, “An example of a new type of cosmological solution of Einstein's field equations of gravitation”, Rev. Mod. Phys. 21 (1949) 447-450.
  14. Istvan Nemeti, Judit X. Madarasz, Hajnal Andreka & Attila Andai, “Visualizing Some Ideas About Godel-Type Rotating Universes”, arXiv: 0811.2910 [gr-qc]
  15. Matt Visser, Lorentzian Wormholes – From Einstein to Hawking, (AIP Press, New York, 1996).
  16. S.W. Hawking, “Chronology Protection Conjecture”, Phys. Rev. D46 (1992) 603-611.
  17. Alfred Shapere & Frank Wilczek, “Constraints on Chronologies”, arXiv: 1208.3841 [gr-qc]          

27.7.14

Mantik Menurut Dua Teori Asas Sains Fizikal Bhg 2

(Sambungan dari Bhg Pertama)
Catatan: Sedikit perubahan dibuat ke atas makalah asal supaya paparan persamaan disesuaikan untuk blog ini.

2. Teori Kenisbian dan Mantiknya

2.1. Pengenalan Ringkas
Teori kenisbian[8] adalah teori yang mengitlakkan sistem mekanik (Newtonan) kepada sistem fizikal berkelajuan tinggi (kenisbian khas) dan seterusnya sistem berdaya graviti kuat (kenisbian umum). Pada asalnya, teori ini menggabungkan dua teori fizik iaitu mekanik Newtonan dan teori keelektromagnetan Maxwell (kenisbian khas) dan didapati bahawa pengukuran ruang dan pengukuran adalah saling berkait manakala persamaan gerakan cahaya (gelombang elektromagnet) semestinya sah bagi semua rangka pencerap. Dapatan ini memberi dua implikasi:
  • Kedudukan dalam ruang dan masa adalah setara dan ruang-masa dianggap sebagai ruang bermatra empat.
  • Laju cahaya (gelombang elektomagnet) malar dalam semua rangka rujukan pencerap.
Implikasi pertama menyatakan sebarang perkara yang dicerap semesti diberi koordinat ruang dan masa (t, r) = (t x, y, zyang saling berkaitan. Kedua menyatakan akan ada kuantiti yang tak berubah dan dapat dijadikan rujukan. Bagi menjelaskan perkara ini, kita ambil analog ruang datar dalam tiga dimensi berkoordinat r = (x, y, z); vektor kedudukan ini akan mempunyai panjang vektor r = | r | yang tetap walaupun diubah rangka koordinatnyar = (x2+y2+z2)1/2Ini adalah rumus Pythagoras lazim yang berlaku untuk geometri Euclid. Dengan cara yang sama suatu peristiwa (t, r), ada kuantiti 'panjang' s yang setara bagi ruang-masa yang datar iaitu s2 = c2t2-x2-y2-z2 . Ini dikatakan sebagai ‘panjang’ bagi geometri ruang-masa Minkowski. Kuantiti ini tidak akan berubah sekiranya pencerap ingin memilih koordinatnya ke (t', x', y', z') iaitu s'2 = c2t’2-x’2-y’2-z’2 = s2 . Tidak seperti r, kuantiti s atau s2 tidak terhad kepada nilai positif. Jika (x, y, z) adalah kedudukan baharu zarah cahaya bergerak dari titik asalan koordinat (0,0,0), maka s2 = 0. Zarah lazim (yang berjisim tidak sifar) pula akan mempunyai  s2 > 0. Secara prinsip kes  s2 < 0 juga boleh berlaku yang bermaksud zarah sedemikian (bergelar takion) akan mempunyai kelajuan melebihi cahaya. Namun, zarah sebegini belum pernah dijumpai dan jika ada, akan menimbulkan masalah yang lain (lihat subseksyen berikut).

Sebagai pelengkap, bagi kes teori kenisbian umum, hanya perlu pengitlakan membuat kesetaraan pencerap dalam rangka rujukan yang memecut dengan pencerap di bawah pengaruh daya graviti. Dari struktur yang mempengaruhi mantiknya tidak banyak berbeza kecuali apa yang akan dibincang dalam subseksyen 2.3.


2.2. Struktur Kon Cahaya dan Kebersebaban

Daripada persamaan s2, struktur teori kenisbian menyatakan bahawa ruang-masa mempunyai peristiwa-peristiwa yang boleh terbahagi kepada tiga bahagian berdasarkan ‘panjang’ vektor peristiwa:
  • Peristiwa bak masa (s2 > 0);
  • Peristiwa bak cahaya (s2 = 0);
  • Peristiwa bak ruang (s2 < 0).
Pembahagian ini menghasilkan struktur kon cahaya seperti Rajah 2.

Rajah 2: Struktur kon cahaya dengan peristiwa bak cahaya A, peristiwa bak masa B dan peristiwa bak ruang C.

Garis vektor yang di atas kon adalah untuk peristiwa bak cahaya, vektor di dalam kon adalah untuk peristiwa bak masa dan di luar kon pula untuk peristiwa bak ruang. Struktur kon in ada untuk setiap titik ruang-masa. Bagi Rajah 2 adalah yang berpusatkan asalan koordinat dan peristiwa A dan B adalah yang dikatakan peristiwa terhubung bersebab (causally connected) dengan peristiwa di asalan koordinat manakala peristiwa C tidak terhubung bersebab.


Rajah 3: Menghantar isyarat lebih laju daripada cahaya dari O ke C dan kembali menghasilkan suatu paradoks.


Bagi memahami kenapa peristiwa bak ruang dikatakan tidak boleh terhubung bersebab, kita lakarkan dengan lebih ringkas dalam Rajah 3 apakah yang akan berlaku jika kita benarkan hubungan bersebab dengan peristiwa C di luar kon melalui isyarat lebih laju daripada cahaya (cerun garis merah kurang daripada garis cahaya). Dengan syarat sedemikian juga pencerap di C boleh menghantar isyarat bersifat yang sama kepada pencerap di O, tapi akan sampai lebih awal (t < 0) daripada isyarat awal dihantar (t = 0). Ini akan menghasilkan suatu paradoks hubungan sebab-musabab.

Perhatikan bahawa kumpulan peristiwa yang terhubung bersebab sentiasa mempunyai tertib antara peristiwa yang terpelihara (tetapi tidak semesti malar; bersifat tak linear) dan dengan itu membentuk hubungan tertib separa. Sebagaimana terbincang dalam subseksyen 1.2, struktur ini dapat membangunkan suatu bentuk mantik berkait dengan peristiwa terhubung bersebab[9,10] dan ini tergolong dalam bentuk mantik ruang.[11]

Kesimpulan yang perlu diambil di sini adalah peranan geometri ruang-masa (berstruktur kon cahaya) dalam menentukan jenis mantik yang perlu dipakai. Lebih kompleks geometri yang terlibat (seperti dalam kenisbian umum), struktur mantik juga turut menjadi lebih kompleks.

Rujukan

  1. Roger Penrose, The Emperor’s New Mind – Concerning Computers, Minds and the Laws of Physics, (Vintage, London, 1990).
  2. Paul Weingartner (ed.), Alternative Logics – Do Sciences Need Them?, (Springer, Berlin, 2003).
  3.  Johan van Benthem, Gerhard Heinzmann, Manuel Rebuschi & Henk Visser (eds.), The Age of Alternative Logics – Assessing Philosophy of Logic and Mathematics Today, (Springer, Dordrecht, 2009).
  4. Barnabas Bede, Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic, (Springer, Berlin, 2013).
  5. Lotfi A. Zadeh, “The Birth & Evolution of Fuzzy Logic”, Int. J. General Systems 17 (1990) 95-105.
  6. Petr Hajek, “Many-Valued Logic and Fuzzy Logic”, J. Indian Council Phil. Research (Special Issue) 2 (2010) Part 6, Art. 6.
  7. A.G. Hamilton, Logic for Mathematicians, (Cambridge University Press, Cambridge, 1988).
  8. Ray d’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity, (Clarendon Press, Oxford, 1998).
  9. E.C. Zeeman, “The Topology of Minkowski Space”, Topology 6 (1967) 161-170.
  10. S.W. Hawking, A.R. King & P.J. McCarthy, “A New Topology for Curved Space-Time Which Incorporates the Causal, Differential and Conformal Structures”, J. Math. Phys. 17 (1976) 174-181.
  11. Marco Aiello, Ian Pratt-Hartmann & Johan Van Benthem (eds.), Handbook of Spatial Logics, (Springer, Dordrecht, 2007).

2.7.14

Mantik Menurut Dua Teori Asas Sains Fizikal Bhg 1

Pada 17 September 2013, saya telah membuat pembentangan di Seminar Mantik 2013 (17-18 Sept 2013) di Unisza, Itu adalah pertama kali saya memberi seminar yang pembentang dan peserta adalah para agamawan, saintis dan pelajar-pelajar. Secara peribadi, saya teruja dengan idea seminar gabungan dua bidang ini. Perjumpaan kali mungkin tidak banyak interaksi yang diharapkan namun ia adalah satu permulaan. Turut disiapkan ketika itu adalah kertaskerja "Mantik Menurut Dua Teri Asas Sains Fizikal" yang memperincikan pembentangan tesebut. Oleh kerana tidak pasti samada kertas kerja itu ada diterbitkan di mana-mana, saya salinkan kandungannya di blog ini bahagian demi bahagian.

Abstrak
Terdapat dua teori asas dalam sains fizikal iaitu teori kenisbian dan teori quantum. Kefahaman moden kedua-dua teori ini menunjukkan realiti alam yang lebih kompleks mengatasi mantiq berasaskan rantaian sebab-musabab yang linear yang lazim kita pegang. Antara yang menarik adalah saranan mantiq intuisi (atau pelbagai nilai) yang boleh membenarkan keadaan berkonteks atau hukum yang khusus mengatasi hukum yang umum. Selain itu, wujud pemanjangan teori-teori ini yang membenarkan peristiwa terkemudian menentukan peristiwa terdahulu yang mungkin (secara berani) beranalogi dengan taqdir dan membolehkan perspektif holisme mengatasi reduktionisme dalam sains.

1. Pengenalan

Lazimnya apabila disebut mantik atau logik, ramai yang akan mengkaitkannya dengan proses pemikiran bersistematik atau sistem penalaran. Jarang sekali, mantik dikaitkan terus dengan hukum alam. Namun ada hubungan rapat antara keduanya. Akal bertempat (sebahagiannya) di alam fizikal dan (sebahagian) proses akan menuruti hukum-hukum fizik seperti mana objek-objek lain, manakala alam fizikal difahami manusia melalui akalnya. Hubungan rapat antara keduanya turut menjadi satu isu permasalahan dan perdebatan sejauh mana alam fizikal ini dapat diketahui sebagaimana keadaan sebenarnya. Bagi makalah ini, cukuplah sekadar menyedari perkara ini dan mengambil pandangan teori fizik seharusnya bermain peranan dalam membentuk mantik yang diperlukan manusia, sekurang-kurangnya dalam menganalisis sistem fizik.

1.1. Teori Fizik Asas

Idea teori sering disalaherti oleh pendapat umum dengan dua pandangan ekstrim sama ada memandang sinis, mengatakan teori sebagai hal rekaan minda semata-mata atau ditelan bulat-bulat sebagai fakta. Dalam pandangan ahli fizik, teori fizik merupakan kerangka teori yang mampu menjelaskan fenomena fizik melalui satu tafsiran. Kerangka ini pula dianggap lengkap (mampu berdiri sendiri) berbeza dengan model yang memerlukan ciri atau parameter luaran. Teori fizik sendiri mempunyai pelbagai status dari sudut pandangan sejauh mana ia mampu dikaitkan dengan fenomena fizik. Ada yang begitu berjaya menghuraikan fenomena fizik menjangkaui masalah asal yang melahirkan teori tersebut. Ada yang dianggap spekulatif, jauh daripada mencerminkan fenomena fizik sedia ada, dan ada pula yang secukupnya memerihal fenomena fizik. Penrose sendiri[1] mengutarakan tiga kategori teori fizik iaitu
(i)     Cemerlang (superb): teori dapat diaplikasi kepada fenomena fizik sedia ada dengan renj fenomena meluas dan kejituan yang cukup meyakinkan;
(ii)    Berguna (useful): teori yang berjaya memerihal fenomena fizik tetapi memerlukan asas yang lebih kemas;
(iii)    Tentatif (tentative): teori yang berhasrat dan mampu untuk memerihal fenomena fizik tetapi masih kurang atau belum mendapat sokongan eksperimen.

Tambahan kepada hierarki tiga kategori ini ialah sifat asas satu-satu teori. Satu teori
A dikatakan lebih asas daripada teori B jika teori A merangkumi teori B atau teori A dapat diperturun ke teori B dalam suatu had. Sebagai contoh kedua-dua teori kenisbian dan teori quantum dianggap lebih asas daripada teori mekanik Newtonan kerana kedua-duanya mengandungi teori Newtonan masing-masing dalam had laju kecil dan had kuantiti tindakan kecil.

Kedua-dua teori kenisbian dan teori quantum kini telah dianggap oleh majoriti komuniti ahli fizik sebagai teori asas fizik yang cemerlang; yang pertama mengenai ruang dan masa dan yang kedua mengenai zarah mikroskopik. Dalam makalah ini, kita akan cuba bincang aspek-aspek mantik teori kenisbian dan teori quantum dan tunjukkan bahawa teori-teori ini membawa mantik yang berbeza dan kompleks daripada mantik lazim. Perbincangan akan turut melibatkan aspek spekulatif kedua-dua teori tersebut.

1.2. Pelbagai Mantik

Dalam menyatakan teori kenisbian dan teori quantum melibatkan mantik yang berbeza, wujud gambaran bahawa terdapat lebih daripada satu jenis mantik. Sememangnya, perkembangan yang dibawa oleh teori dalam bidang sains komputer dan asas matematik telah menunjukkan yang demikian.[2,3] Kini, ramai penyelidik teori sains komputer dan logik meneroka pelbagai sistem mantik yang dapat dibina oleh pemikiran manusia dengan tujuan aplikasi. Sebagai contoh ialah mantik kabur[4] yang dipopularkan oleh Lotfi A. Zadeh,[5] mempunyai banyak aplikasi dan diketahui pula bahawa mantik ini hanya merupakan salah satu bentuk khusus bagi mantik pelbagai nilai.[6] Selain pengaruh sains komputer dan matematik ke atas bidang mantik, ilmu fizik turut menyumbang perkembangan mantik yang baru dan akan dibincang dalam seksyen-seksyen berikut.

Bagi tujuan perbandingan kemudian nanti, perlu dihuraikan di sini sedikit ringkasan mantik lazim (mantik pernyataan).[7] Kita mengambil bentuk matematik mantik pernyataan melalui aljabar Boolean yang mempunyai operasi konjungsi (Ù), disjungsi (Ú), dan penafian (Ø). Operasi-operasi ini masing-masing mewakili kata hubung ‘dan’, ‘atau’ dan perkataan ‘bukan’ dalam ayat-ayat lazim. Satu operasi penting yang lain adalah implikasi (Þ), yang mana penggunaan bentuk pernyataan adalah

                             Jika A, maka B            (bentuk matematik: A Þ B)                     (1)

Pernyataan A adalah pernyataan seperti “zarah berkedudukan $x_0 \pm\epsilon$ dan bermomentum $p_0 \pm \delta$ pada waktu $t_0$” dan B pula seperti “zarah berkedudukan $x_1 \pm\epsilon'$ dan bermomentum $p_1 \pm \delta'$ pada waktu $t_1$”. Operasi implikasi kemudian dapat dikatakan mempunyai ‘kuasa ramalan’ yang sangat diperlukan dalam ilmu fizik. (Catatan: bahasa LaTeX digunakan di perenggan ini).

Aljabar Boolean ini sendiri boleh direalisasikan oleh teori set matematik melalui operasi set persilangan (Ç), kesatuan (È), pelengkap (c), masing-masing menggantikan konjungsi, disjungsi dan penafian. Operasi implikasi pula dapat digantikan dengan operasi subset (Í). Pernyataan seperti dalam (1) kemudiannya dapat diterjemah ke gambar rajah Venn dalam Rajah 1 yang lebih jelas maksudnya. Kelihatan dalam Rajah 1, operasi implikasi seolah-olah remeh, tapi perlu ditekankan bahawa A dan B mungkin mewakili ciri-ciri berlainan.



Rajah 1: Gambar rajah Venn A Í B mewakili A Þ B.

Realisasi dalam bentuk set ini memudahkan mantik pernyataan diolah mengikut operasi set. Sebagai contoh, mantik dinamik klasik dapat dibina dengan operasi set dalam ruang fasa sistem dinamik.

Antara kelebihan penggunaan teori set, kita dapat membuat pemerhatian dan pengitlakan bahawa operasi subset merupakan suatu hubungan tertib separa yang mempunyai ciri-ciri berikut:

·       A Í A;
·       Jika A Í B dan B Í A, maka A = B;
·       Jika A Í B dan Í C, maka A Í C.

Hubungan tertib separa merupakan salah satu unsur penting bagi membangunkan mantik-mantik lain yang lebih umum.

Rujukan:
  1. Roger Penrose, The Emperor’s New Mind – Concerning Computers, Minds and the Laws of Physics, (Vintage, London, 1990).
  2.  Paul Weingartner (ed.), Alternative Logics – Do Sciences Need Them?, (Springer, Berlin, 2003).
  3. Johan van Benthem, Gerhard Heinzmann, Manuel Rebuschi & Henk Visser (eds.), The Age of Alternative Logics – Assessing Philosophy of Logic and Mathematics Today, (Springer, Dordrecht, 2009).
  4. Barnabas Bede, Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic, (Springer, Berlin, 2013).
  5. Lotfi A. Zadeh, “The Birth & Evolution of Fuzzy Logic”, Int. J. General Systems 17 (1990) 95-105.
  6. Petr Hajek, “Many-Valued Logic and Fuzzy Logic”, J. Indian Council Phil. Research (Special Issue) 2 (2010) Part 6, Art. 6.
  7. A.G. Hamilton, Logic for Mathematicians, (Cambridge University Press, Cambridge, 1988).
(Bersambung ...)