Pada hari Rabu, 26 Mac 2025, Masaki Kashiwara dianugerahi Hadiah Abel 2025 oleh Akademi Sains Norway. Hadiah Abel merupakan Hadiah yang dianugerahkan kepada ahli matematik seperti mana Hadiah Nobel dalam bidang sains asas lain. Penganugerahan Hadiah Abel kepada Kashiwara adalah atas sumbangan penting beliau dalam analisis beraljabar dan teori perwakilan, khususnya dalam membangunkan modul-D dan penemuan graf hablur (dalam konteks aljabar).
Apakah sebenarnya perincian sumbangan beliau sehingga diberi penghormatan bukan setakat Hadiah Abel, tapi turut dianugerahi Pingat Chern (2018), Hadiah Kyoto (2018) dan Asian Scientist 100 (2019) sebelum ini?
Tema besar penyelidikan beliau adalah penyatuan bidang-bidang matematik aljabar, geometri dan analisis sepertimana penyelidikan matematik terkehadapan yang lain. Bidang aljabar adalah kajian struktur objek-objek matematik seperti nombor dan matriks, bidang geometri adalah kajian ruang abstrak manakala bidang analisis pula mengenai fungsi yang melibatkan konsep ketakterhinggaan. Antara penemuan beliau yang lebih khusus ialah membangunkan teori D-modul. Bagi ahli fizik, kita lebih sering menggunakan konsep ruang vektor dalam aljabar linear yang mana objek vektor ditakrif atas suatu medan nombor. Dengan ruang vektorlah, kita dapat membincang fungsi gelombang yang membawa perwakilan simetri sistem fizikal. Konsep ini dapat kita itlakkan kepada modul atas suatu gegelang (ring). Sepertimana skalar dari medan nombor bertindak ke atas vektor, pengitlakkan modul membolehkan perbicanngan operator ke atas unsur modul. Huruf D di depan D-modul teori Kashiwara adalah merujuk kepada operator pengoperasi pembeza (differential operator) bertindak ke atas unsur modul. Sepertimana ruang vektor mempunyai peranan dalam teori perwakilan (representation theory), begitu juga D-modul dapat mengayakan lagi teori perwakilan dan seterusnya membangunkan teori analisis beraljabar (algebraic analysis) yang elah dipelopori oleh penyelianya Mikio Sato. Berikut adalah jadual perbandingan teori ruang vektor dengan teori D-modul.
Aljabar Linear Analisis Beraljabar
Persamaan linear Persamaan pembeza linear
Nombor nyata Operator pembeza linear
Ruang vektor D-Modul
Satu aspek penyatuan lain penyelidikan Kashiwara adalah menyambung idea Sato dalam penggunaan konsep hiperfungsi (hyperfunction). Di sini penggunaan adjektif hiper adalah sama dengan konsep hiperpermukaan (hypersurface) yang mana dimensi 'permukaan' adalah kurang satu daripada dimensi ruang pembenaman (embedding space). Ideanya menganggap fungsi teritlak seperti taburan delta Dirac sebagai suatu hasiltambah linear fungsi kompleks pada satah atas kompleks (upper half plane) dengan fungsi kompleks pada satah bawah kompleks (lower half plane) dan memperlakukan hiperfungsi sebagai fungsi sempadan pada garis nyata yang membahagikan satah kompleks kepada satah atas dan satah bawah. Dengan ertikata lain, analisis kompleks dan analisis nyata disatukan dalam analisis beraljabar. Penurunan fungsi kompleks kepada fungsi nyata turut menggunakan peralatan matematk canggih seperti gemal (sheaves) yang mempunyai kaitan dengan topologi beraljabar (algebraic topology) melalui aspek kohomologi, mengaitkan sifat setempat fungsi dengan sifat global fungsi. Tidak hairanlah, pembangunan D-modul ini membuka jalan kepada percambahan topik-topik tertinggi matematik yang hanya pakar-pakar sahaja dapat memahami benar apa yang berlaku.
Satu lagi penemuan Kashiwara adalah konsep asas hablur (crystal bases) dalam perwakilan kumpulan quantum (quantum groups). Konsep kumpulan quantum adalah pengitlakan atau canggaan kepada konsep kumpulan lazim dan ia sebenarnya suatu aljabar (bukan kumpulan yang sebenarnya lebih tegar) yang bergantung kepada parameter canggaan q. Asas hablur kemudian merupakan pengitlakan asas ruang vektor (seperti aljabar Lie) ke asas ruang yang lebih umum mewakili kumpulan quantum.
Agak sukar untuk membincangkan topik-topik abstrak yang dibawa oleh Kashiwara dan perihalan di atas hanya dapat menyentuh secara kasar sumbangan Kashiwara tanpa mendalami kerumitan persoalan penyelidikan beliau. Bagi mengetahui betapa besar dan sukarnya penyelidikan Kashiwara, pembaca boleh merujuk kepada makalah 'Fifty Years of Mathematics with Masaki Kashiwara' yang ditulis oleh rakan penyelidik Kashiwara sendiri, iatu Pierre Schapira.
Kashiwara merupakan pemenang Hadiah Abel Asia pertama. Lebih menarik lagi adalah pendidikan formal Kashiwara semua dibuat di Jepun sendiri. Namun demikian pendedahan kepada komuniti luar pada komuniti matematik antarabangsa berlaku pada zaman penyelidikannya yang terkemudian (melalui bantuan penyelianya). Kashiwara sendiri adalah secara khusus hasil tradisi matematik kuat yang bertapak di Research Institute for Mathematical Institute (RIMS) di Kyoto. Malah terdapat sejenis citarasa matematik berlainan yang dibawa oleh RIMS sehingga penulis sendiri beranggapan jika mahu membangunkan matematik tinggi acuan sendiri, bolehlah merujuk kepada RIMS dan lebih khusus kepada penyelidikan Kashiwara dan rakan-rakan penyelidiknya untuk dijadikan contoh.
