Ruang, Kontinum dan Manifold

Dalam perbincangan popular mengenai ruang dan masa, ramai menumpu perhatian kepada masa berbanding dengan ruang dan seringkali masa dianggap lebih bermisteri kerana kita hanya 'merasai'nya hanya dengan perubahan. Tidak seperti ruang, masa adalah dimensi yang tidak membenarkan 'penjelajahan ke belakang'. Oleh yang demikian, adakah ruang suatu yang remeh (trivial) atau mudah untuk kita faham. Pada pendapat penulis, tidaklah begitu. Dari satu segi, ruang turut rumit untuk difikirkan kerana konsep ruang sendiri tidak akan terlepas dari konsep masa. Secara mudah, dalam konteks 'fizik moden', ruang dan masa membentuk satu kontinum empat dimensi, pentas di mana peristiwa semesta berlaku. Konsep masa terasing daripada ruang hanyalah pada pandanganfizik Newtonan kerana 'masa' dapat ditafsirkan sebagai keratan rentas sejagat (global) bagi semua peristiwa (lihat garisan merah dalam rajah di bawah). Keratan rentas ini dapat diunjurkan kepada kontinum garis nombor nyata di bawah. Memandangkan nombor nyata adalah medan (number field) yang lengkap sifat penertibannya (complete ordering), maka 'kooridnat masa' mempunyai sifat urutan seperti pengalaman lazim dan koordinat masa secara prinsip dapat dipersetujui oleh semua pencerap. 

Mekanik Newtonan telah pun digantikan dengan teori kerelatifan Einstein (masih dalam kerangka fizik klasik) dan dalam kes ini kontinum ruang-masa tiada lagi peta unjuran yang sejagat sebagaimana dalam ruang-masa Newtonan. Malah kontinum 4-dimensi ini seharusnya diambil sebagai satu blok yang tidak dapat dipisah-pisahkan secara sebarangan. Ini selaras dengan pernyataan awal sebelum ini bahawa konsep ruang tidak terlepas dari masa dan berkait dengan konsep masa.

Kita tinggal dahulu aspek masa dan tumpu kepada konsep ruang secara umum. 'Ruang' adalah istilah yang dipakai secara umum untuk 'space'. Dalam karya ilmiah matematik, ruang lazim merujuk kepada ruang (ber)topologi (topological space) kerana konsep topologi cukup luas untuk merangkumi kedua-dua ruang diskrit dan ruang kontinum. Struktur matematik yang lebih khusus selepas ruang topologi adalah ruang geometri yang melibatkan kontinum, dan istilah yang lazim dipakai ialah manifold. Di sinilah pencetus idea bagi hantaran blog ini. Perhatikan bahawa tiga istilah yang telah kita perkenalkan sehingga kini adalah perkataan pinjaman terus dari 'bahasa Inggeris' yang (seolah-olah) mengatakan tiada istilah yang sesuai dalam kosa kata bahasa Melayu. Oleh yang demikian, konsep-konsep berkaitan mungkin sahaja asing dalam pengalaman orang berbahasa Melayu.

Ambil topologi misalnya. Etimologi topology berasal daripada perkataan Greek topos yang bermakna tempat dan logos yang bermakna kajian. Walaupun perkataan ini agak asing tapi makna asalnya berkisar sekitar perkataan tempat (lihat rajah di bawah). Tidak mustahil jika difahami maksud asal perkataan ini, dapat kita bayangkan ahli bahasa boleh membangunkan istilah yang lebih dekat dengan bahasa Melayu biasa, tapi ini bukan tujuan hantaran blog ini.

Sumber: https://m.persamaankata.com/18237/tempat

Walaupun topologi dapat kita kaitkan dengan tempat, kita seharusnya lihat bagaimana penggunaan teknikal topology dalam matematik. Perkataan ini pertama kali diguna secara teknikal oleh Listing dengan tujuan membezakan dua aspek geometri iaitu yang melibatkan aspek kuantitatif (melibatkan kuantiti dan pengukuran) dan yang melibatkan aspek kualitatif (melibatkan tatasusunan dan kedudukan relatif titik-titik). Kajian topologi adalah untuk aspek kualitatif ini  Hari ini, banyak istilah bidang topologi yang terbit seperti kejiranan, keselanjaran dan pembelitan, kesemuanya lebih biasa dengan pemikiran bahasa Melayu.

Berbeza dengan dua istilah seterusnya: kontinum dan manifold - kedua-dua ini melibatkan konsep matematik yang dibangunkan pada lewat kurun 19. Kontinum melibatkan konsep ketakterhinggaan (infinity) tapi bukan ketakterhinggaan yang boleh dibilang. Kontinum muncul apabila set nombor nyata mula dibangunkan dalam matematik dan Cantor lah yang membuktikan 'saiz' atau kekardinalan set tak terhingga nombor nyata adalah lebih besar daripada kekardinalan set tak terhinnga nombor boleh bilang. Walaupun kontinum dapat direalisasi dengan pengalaman keselanjaran harian, aspek ketakterhinggan tak berbilang ini menjadi perkaru baru dan ini mempunyai impak besar dalam komputasi satu-satu kuantiti. Kontinum yang dibawa oleh nombor nyata dapat dipadankan dengan keselanjaran yang kita temui dalam ruang. Ada sahaja kemungkinan bahawa keselanjaran ini hanyalah suatu penghampiran kepada sifat diskrit 'atom' ruang sepertimana kelicinan bendalir yang muncul daripada gerakan berbilang zarah bendalir. Walau pun menarik, idea 'atom' ruang masih bersifat spekulatif dan hanya dibincang dalam teori-teori graviti quantum. Pada hierarki realiti yang tampil pada pengalaman harian kita, kontinum nombor nyata ℝ atau salinan bergandanya ℝⁿ menjadi sangat berguna sebagai model memerihalkan banyak sistem fizik termasuklah teori quantum lazim. Ruang kontinuum sedemikian boleh termuat dalam pelbagai bentuk geometri, namun secara setempat ruang ini kelihatan seperti ruang ℝⁿ. Ciri ini merupakan sandaran asas kepada konsep manifold yang mana koordinat ℝⁿ berfungsi sebagai (fungsi) koordinat setempat manifold.

Bagaimana istilah manifold muncul dalam matematik? Mungkin ada yang menyangka bahawa perkataan ini berasal daripada gabungan many dan fold yang seolah-olah merujuk kepada pelbagai jenis kontinum yang terhasil dengan proses 'lipatan'. Jangkaan ini hampir benar dengan sedikit perubahan penting. Dalam tahun 1851, Riemann menulis tesisnya mengenai matematik yang memerihalkan kontinum permukaan dan perkataan Jerman yang beliau gunakan ialah mannigfaltigkeit, diterjemahkan oleh W.K. Clifford sebagai manifoldness. Kefahaman manifold di sini merujuk kepada pelbagai atau berbilang nilai yang dibawa oleh pembolehubah permukaan. Pembolehubah yang dipertimbangkan sebenarnya mewakili nombor kompleks (suatu peluasan konsep nombor nyata) dan permukaan yang diperihal dipanggil kini sebagai permukaan Riemann (Riemann surfaces). Penggunaan nombor kompleks sebagai pembolehubah kontinum membuka jalan kepada teori geometri baharu iaitu manifold kompleks. Penggunaan manifold kompleks yang paling utama adalah dalam memerihalkan geometri keadaan quantum dan sudah tentu mempunyai peranan dalam perkembangan sains & teknologi quantum yang kini hangat dibincang. Seperkara lagi, kita perlu ambil perhatian bahawa nombor kompleks membawa kalkulus yang berbeza daripada kalkulus nombor nyata. Oleh sebab itu manifold kompleks memang berbeza sifatnya daripada manifold nyata; antaranya manifold kompleks dikatakan lebih tegar. Suatu implikasi yang penting akibat sifat ini adalah teorem tak-terhimpit oleh Gromov yang mempunyai analogi dengan prinsip ketakpastian Heisenberg. Mungkin sahaja keputusan ini mengukuhkan lagi pendapat bahawa dunia quantum sememangnya kompleks!

Rujukan

• https://m.persamaankata.com/18237/tempat (diakses pada 22 Ogos 2025)
• T.G. Faticoni, The Mathematics of Infinity - A Guide to Great Ideas, John Wiley, New Jersey, 2012)
• Johann Benedict Listing, Vorstudien zur Topologie, (Vandenhoeck und Ruprecht, Gottingen, 1848) (dalam bahasa Jerman)
• M. DeGosson & F. Luef, "Symplectic Capacities and the Geometry of Uncertainty: The Irruption of Symplectic Topology in Classical and Quantum Mechanics", Phys. Reports 484 (2009) 131-179
• M. Groechenig, "Complex Manifolds", Lecture Notes at University of Toronto (2016) (capaian: http://individual.utoronto.ca/groechenig/complex.pdf)
• M. Gromov, "Pseudo-Holomorphic Curves in Symplectic Manifolds", Invent. Math. 82 (1985) 307-347
• V.G. Ivancevic & T.T. Ivancevic, Applied Differential Geometry - A Modern Introduction, (World Scientific, Singapore, 2007)
• B. Riemann,    Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (University of Gottingen, 1851)
• B. Riemann, (terjemahan W.K. Clifford), On the Hypothesis Which Lie at the Bases of Geometry. (Gottingen inaugural lecture, 1854)