Ruang, Kontinum dan Manifold

Dalam perbincangan popular mengenai ruang dan masa, ramai menumpu perhatian kepada masa berbanding dengan ruang dan seringkali masa dianggap lebih bermisteri kerana kita hanya 'merasai'nya hanya dengan perubahan. Tidak seperti ruang, masa adalah dimensi yang tidak membenarkan 'penjelajahan ke belakang'. Oleh yang demikian, adakah ruang suatu yang remeh (trivial) atau mudah untuk kita faham. Pada pendapat penulis, tidaklah begitu. Dari satu segi, ruang turut rumit untuk difikirkan kerana konsep ruang sendiri tidak akan terlepas dari konsep masa. Secara mudah, dalam konteks 'fizik moden', ruang dan masa membentuk satu kontinum empat dimensi, pentas di mana peristiwa semesta berlaku. Konsep masa terasing daripada ruang hanyalah pada pandanganfizik Newtonan kerana 'masa' dapat ditafsirkan sebagai keratan rentas sejagat (global) bagi semua peristiwa (lihat garisan merah dalam rajah di bawah). Keratan rentas ini dapat diunjurkan kepada kontinum garis nombor nyata di bawah. Memandangkan nombor nyata adalah medan (number field) yang lengkap sifat penertibannya (complete ordering), maka 'kooridnat masa' mempunyai sifat urutan seperti pengalaman lazim dan koordinat masa secara prinsip dapat dipersetujui oleh semua pencerap. 

Mekanik Newtonan telah pun digantikan dengan teori kerelatifan Einstein (masih dalam kerangka fizik klasik) dan dalam kes ini kontinum ruang-masa tiada lagi peta unjuran yang sejagat sebagaimana dalam ruang-masa Newtonan. Malah kontinum 4-dimensi ini seharusnya diambil sebagai satu blok yang tidak dapat dipisah-pisahkan secara sebarangan. Ini selaras dengan pernyataan awal sebelum ini bahawa konsep ruang tidak terlepas dari masa dan berkait dengan konsep masa.

Kita tinggal dahulu aspek masa dan tumpu kepada konsep ruang secara umum. 'Ruang' adalah istilah yang dipakai secara umum untuk 'space'. Dalam karya ilmiah matematik, ruang lazim merujuk kepada ruang (ber)topologi (topological space) kerana konsep topologi cukup luas untuk merangkumi kedua-dua ruang diskrit dan ruang kontinum. Struktur matematik yang lebih khusus selepas ruang topologi adalah ruang geometri yang melibatkan kontinum, dan istilah yang lazim dipakai ialah manifold. Di sinilah pencetus idea bagi hantaran blog ini. Perhatikan bahawa tiga istilah yang telah kita perkenalkan sehingga kini adalah perkataan pinjaman terus dari 'bahasa Inggeris' yang (seolah-olah) mengatakan tiada istilah yang sesuai dalam kosa kata bahasa Melayu. Oleh yang demikian, konsep-konsep berkaitan mungkin sahaja asing dalam pengalaman orang berbahasa Melayu.

Ambil topologi misalnya. Etimologi topology berasal daripada perkataan Greek topos yang bermakna tempat dan logos yang bermakna kajian. Walaupun perkataan ini agak asing tapi makna asalnya berkisar sekitar perkataan tempat (lihat rajah di bawah). Tidak mustahil jika difahami maksud asal perkataan ini, dapat kita bayangkan ahli bahasa boleh membangunkan istilah yang lebih dekat dengan bahasa Melayu biasa, tapi ini bukan tujuan hantaran blog ini.

Sumber: https://m.persamaankata.com/18237/tempat

Walaupun topologi dapat kita kaitkan dengan tempat, kita seharusnya lihat bagaimana penggunaan teknikal topology dalam matematik. Perkataan ini pertama kali diguna secara teknikal oleh Listing dengan tujuan membezakan dua aspek geometri iaitu yang melibatkan aspek kuantitatif (melibatkan kuantiti dan pengukuran) dan yang melibatkan aspek kualitatif (melibatkan tatasusunan dan kedudukan relatif titik-titik). Kajian topologi adalah untuk aspek kualitatif ini  Hari ini, banyak istilah bidang topologi yang terbit seperti kejiranan, keselanjaran dan pembelitan, kesemuanya lebih biasa dengan pemikiran bahasa Melayu.

Berbeza dengan dua istilah seterusnya: kontinum dan manifold - kedua-dua ini melibatkan konsep matematik yang dibangunkan pada lewat kurun 19. Kontinum melibatkan konsep ketakterhinggaan (infinity) tapi bukan ketakterhinggaan yang boleh dibilang. Kontinum muncul apabila set nombor nyata mula dibangunkan dalam matematik dan Cantor lah yang membuktikan 'saiz' atau kekardinalan set tak terhingga nombor nyata adalah lebih besar daripada kekardinalan set tak terhinnga nombor boleh bilang. Walaupun kontinum dapat direalisasi dengan pengalaman keselanjaran harian, aspek ketakterhinggan tak berbilang ini menjadi perkaru baru dan ini mempunyai impak besar dalam komputasi satu-satu kuantiti. Kontinum yang dibawa oleh nombor nyata dapat dipadankan dengan keselanjaran yang kita temui dalam ruang. Ada sahaja kemungkinan bahawa keselanjaran ini hanyalah suatu penghampiran kepada sifat diskrit 'atom' ruang sepertimana kelicinan bendalir yang muncul daripada gerakan berbilang zarah bendalir. Walau pun menarik, idea 'atom' ruang masih bersifat spekulatif dan hanya dibincang dalam teori-teori graviti quantum. Pada hierarki realiti yang tampil pada pengalaman harian kita, kontinum nombor nyata ℝ atau salinan bergandanya ℝⁿ menjadi sangat berguna sebagai model memerihalkan banyak sistem fizik termasuklah teori quantum lazim. Ruang kontinuum sedemikian boleh termuat dalam pelbagai bentuk geometri, namun secara setempat ruang ini kelihatan seperti ruang ℝⁿ. Ciri ini merupakan sandaran asas kepada konsep manifold yang mana koordinat ℝⁿ berfungsi sebagai (fungsi) koordinat setempat manifold.

Bagaimana istilah manifold muncul dalam matematik? Mungkin ada yang menyangka bahawa perkataan ini berasal daripada gabungan many dan fold yang seolah-olah merujuk kepada pelbagai jenis kontinum yang terhasil dengan proses 'lipatan'. Jangkaan ini hampir benar dengan sedikit perubahan penting. Dalam tahun 1851, Riemann menulis tesisnya mengenai matematik yang memerihalkan kontinum permukaan dan perkataan Jerman yang beliau gunakan ialah mannigfaltigkeit, diterjemahkan oleh W.K. Clifford sebagai manifoldness. Kefahaman manifold di sini merujuk kepada pelbagai atau berbilang nilai yang dibawa oleh pembolehubah permukaan. Pembolehubah yang dipertimbangkan sebenarnya mewakili nombor kompleks (suatu peluasan konsep nombor nyata) dan permukaan yang diperihal dipanggil kini sebagai permukaan Riemann (Riemann surfaces). Penggunaan nombor kompleks sebagai pembolehubah kontinum membuka jalan kepada teori geometri baharu iaitu manifold kompleks. Penggunaan manifold kompleks yang paling utama adalah dalam memerihalkan geometri keadaan quantum dan sudah tentu mempunyai peranan dalam perkembangan sains & teknologi quantum yang kini hangat dibincang. Seperkara lagi, kita perlu ambil perhatian bahawa nombor kompleks membawa kalkulus yang berbeza daripada kalkulus nombor nyata. Oleh sebab itu manifold kompleks memang berbeza sifatnya daripada manifold nyata; antaranya manifold kompleks dikatakan lebih tegar. Suatu implikasi yang penting akibat sifat ini adalah teorem tak-terhimpit oleh Gromov yang mempunyai analogi dengan prinsip ketakpastian Heisenberg. Mungkin sahaja keputusan ini mengukuhkan lagi pendapat bahawa dunia quantum sememangnya kompleks!

Rujukan

• https://m.persamaankata.com/18237/tempat (diakses pada 22 Ogos 2025)
• T.G. Faticoni, The Mathematics of Infinity - A Guide to Great Ideas, John Wiley, New Jersey, 2012)
• Johann Benedict Listing, Vorstudien zur Topologie, (Vandenhoeck und Ruprecht, Gottingen, 1848) (dalam bahasa Jerman)
• M. DeGosson & F. Luef, "Symplectic Capacities and the Geometry of Uncertainty: The Irruption of Symplectic Topology in Classical and Quantum Mechanics", Phys. Reports 484 (2009) 131-179
• M. Groechenig, "Complex Manifolds", Lecture Notes at University of Toronto (2016) (capaian: http://individual.utoronto.ca/groechenig/complex.pdf)
• M. Gromov, "Pseudo-Holomorphic Curves in Symplectic Manifolds", Invent. Math. 82 (1985) 307-347
• V.G. Ivancevic & T.T. Ivancevic, Applied Differential Geometry - A Modern Introduction, (World Scientific, Singapore, 2007)
• B. Riemann,    Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (University of Gottingen, 1851)
• B. Riemann, (terjemahan W.K. Clifford), On the Hypothesis Which Lie at the Bases of Geometry. (Gottingen inaugural lecture, 1854)

Pemalar Planck Dalam Tindakan

Pada awal bulan April (Isnin, April 14), dunia menyambut Hari Quantum Sedunia. Pilihan tarikh ini berdasarkan tiga digit pertama pemalar Planck dalam unit eV s iaitu 4.14 × 10⁻¹⁵ eV s (pemalar ini lazimnya ditulis dalam buku teks dalam unit SI 6.63 × 10⁻³⁴ Js yang sudah pasti tidak dapat diguna sebagai suatu tarikh).

Pemalar Planck h merupakan suatu kuantiti mencirikan sisten quantum. Kenapa simbol h diambilpakai sebagai tatatanda pemalar Planck? Menurut suatu pendapat (lihat Boya, 2003), Planck mengambil simbol 'h' dari perkataan Hilfsgrösse, perkataan Jerman untuk kata bantu (auxiliary) dengan tujuan simbol h sebagai pembolehubah bantu/sementara dalam membangunkan teori beliau tentang pemindahan quanta tenaga; kemungkinan Planck berharapan pemalar ini dapat dijelaskan oleh teori yang lebih mendasar. Namun sejarah melakarkan yang sebaliknya: pemalar ini pula menjadi suatu kuantiti dasar ke atas mana teori quantum 'dibangunkan'. Planck sendiri akhirnya mengakui bahawa h sebagai quantum asas bagi kuantiti tindakan (ellemntares Wirkungsquantum).

Apakah sebenarnya kuantiti tindakan? Lazimnya, kita perkenal tindakan dalam kursus lanjutan mekanik melalui prinsip tindakan terkecil (principle of least action). Kuantiti ini lazimnya ditakrif sebagai kamiran (kamilan) fungsi Lagrangean L terhadap pembolehubah kedudukan: S = ∫ L dt. Pelajar mungkin mendapati kuantiti ini agak abstrak dan sukar untuk bayangkan apakah sebenarnya kuantiti tersebut. Jika kita sedar bahawa dimensi fungsi Lagrangean adalah sama dengan dimensi tenaga, mungkin konsep tindakan dapat kita jelaskan dengan lebih baik. Pernah saya jelaskan kepada rakan sekerja dahulu bahawa kita boleh anggap tenaga (yang lebih biasa bagi pelajar) sebagai kadar perubahan tindakan S per unit masa. Sebagai analogi yang lebih lazim ialah arus elektrik (secara dimensi sebagai kadar perubahan cas elektrik per unit masa) dengan cas elektrik itu sendiri. Terpulang kepada pandangan mana yang lebih asas: samada cas atau arus dan begitu juga dengan tindakan atau tenaga.

Di negara barat, sudah ada usul untuk mengambil tindakan sebagai konspe yang dapat menyatukan pelbagai konsep fizik sekaligus (lihat McGinness & Savage, 2016). Jika kita telah pelajari subjek yang lebih maju, kita akan sedar bahawa prinsip tindakan ekstremum (lebih umum) telah diguna dalam pelbagai bidang fizik dari mekanik klasik hingga ke fizik zarah. Lebih penting ialah konsep tindakan ini dapat menghubungkan domain fizik yang dianggap berbeza: domain fizik klasik, domain fizik kerelatifan (atau kenisbian) dan domain fizik quantum. Atas sebab ini jugalah saya berpendapat betapa malangnya jika mekanik Lagrangean dan mekanik Hamiltonan diajar tanpa melalui konsep tindakan (terus menggunakan hasil persamaan Euler-Lagrange dan hasil persamaan Hamilton).

Berbalik kepada pemalar Planck dan teori quantum; antara idea yang mencetus penulisan hantaran ini adalah apakah pelajaran bernilai yang boleh diambil daripada teori quantum lama sebelum teori ini berevolusi kepada mekanik quantum yang dibangunkan oleh Heisenberg, Born dan Jordan. Teori quantum lama berkisar pada sekitar teori Bohr meramlkan garis spektrum hidrogen dan seterusnya dipanjangkan oleh Sommerfeld bagi menjelaskan struktur halus spektrum hidrogen. Model Bohr asal dibangunkan menggunakan postulat keadaan pegun yang membawa gambaran orbit bulatan tetap pada jejari tertentu yang memberi syarat pengkuantuman momentum sudut L = nh/2𝜋 (perhatikan bahawa dimensi pemalar Planck adalah sama dengan dimensi momentum sudut). Dengan ketetapan ini, spektrum garis besar atom hidrogen dapat dijelaskan dengan jayanya. Sommerfeld panjangkan model Bohr dengan membenarkan orbit elips (memerlukan nombor kuantum baru bagi pembolehubah jejari). Walaupun ada yang mengatakan teori Sommerfeld ini dibangunkan dengan 'andaian' yang salah, ia tetap menhasilkan ramalan struktur halus spektrum hidrogen yang agak tepat. Hari ini penjelasan struktur halus dibuat melalui kesan kerelatifan dalam mekanik quantum dan saling tindakan antara momentum sudut orbitan dan spin (sekaligus membawa masuk konsep spin). Terdapat perbincangan menarik bagaimana 'ajaib'nya teori Sommerfeld yang boleh buat ramalan yang secara kebetulan sama dengan kesan kerelatifan dalam kertas kerja Vickers (2012) serta apakah 'realiti' di sebalik 'kebetulan' ini. Bucher (2008) turut menyatakan bahawa pemodelan orbit Sommerfeld tidak lari jauh daripada pemodelan moden jika diambilkira beberapa pembetulan seperti magnitud momentum sudut dan tiga dimensi ruang. Yang mungkin sukar dimuatkan dalam teori Sommerfield adalah aspek spin dan aspek statistik quantum berbilang jasad. Walaupun sudah dijumudkan oleh mekanik quantum, model Bohr-Sommerfeld masih memainkan peranan penting dalam mengquantumkan sistem terkamir (integrable systems) dan sistem kalut (chaotic systems) melalui petua pengquantuman Bohr-Sommerfeld ∫ pₖ dqₖ = nₖh dan teori hampiran WKB.

Proses pengquantuman sebenarya mempunyai pelbagai kaedah dan bergantung pada titik permulaan mana yang ingin diambil. Penggunaan petua Bohr-Sommerfeld secara terus, misalnya, lazim mengandaikan wujudnya orbit klasik sebagai permulaan. Ahli fizik teori negara kita sendiri Prof. Emeritus Shaharir Mohd Zain (Cohen & Shaharir, 1974; Shaharir, 1974) sendiri pernah menyumbang suatu kaedah pengquantuman menggunakan prinsip ekstremum tindakan sebagai titik permulaan yang mana prinsip tindakan diitlakkan kepada nombor-q (operator). Dalam kaedah ini, pemalar Planck dimuatkan melalui komutator berkanun (canonical commutators) yang teritlak dan menarik sekali kertas kerja Cohen dan Shaharir sudah pun pertimbang ruang konfigurasi melengkung (curved configuration space). Penulis sendiri lebih cenderung kepada kaedah pengquantuman yang lain, pengquantuman kumpulan berkanun (canonical group quantization). Titik permulaan pengquantuman kumpulan berkanun adalah simetri ruang fasa yang akan menentukan sendiri bentuk komutator itu sendiri dan pemalar Planck dimasukkan dengan mewujudkan skala bagi sistem fizik (Isham, 1984). Simetri sendiri mungkin sahaja bukan titik tolak kaedah pengquantuman yang sesuai; Doebner & Tolar(1993) sendiri pernah mengkritik kertas kerja penulis sendiri (Zainuddin, 1989) kerana secara umum sistem fizik tidak akan mempunyai simetri tertentu. Doebner bersama rakan (Doebner, Stovicek & Tolar, 2001) mempunyai kaedah pengkuantuman tersendiri yang bermula dengan set Borel yang membentuk sistem ukuran atas ruang konfigurasi. Kritikan Doebner & Tolar tersebut mudah sahaja diatasi dengan mengambil kumpulan simetri besar (contoh kumpulan diffeomorfisme - tiada yang akan lebih besar daripada itu), namun ini akan membawa kepada masalah lain (lihat kertas kerja Goldin dan Sharp, 2024; lihat juga kertas kerja baharu beliau yang penulis tidak mempunyai akses).

Secara umum, tiada satu kaedah pengquantuman yang dapat mencakupi semua bentuk kes yang dapat difikirkan dan ini termasuk bagaimana hendak mengquantumkan graviti. Yang pasti, semua bentuk pengquantuman perlu dapat menerbitkan balik mekanik quantum dengan cirian pemalar Planck.

Gambar dari kiri ke kanan: C.J. Isham, I. Raptis dan penulis (HZ).

Rujukan

• L.J. Boya, "The Thermal Radiation Formula of Planck (1900)", Rev. Real Academia de Ciencias Zaragoza 58 (2003) 91-114; arXiv:physics/0402064.
• M. Bucher, "Rise and Premature Fall of the Old Quantum Theory", arXiv:0802.1366.
• H.A. Cohen & M.Z. Shaharir, "The Action Principle in Quantum Mechanics", Int. J. Theor. Phys. 11 (1974) 289-303.
• H.-D. Doebner & J. Tolar, "Quantum Particle on a Torus With An External Field" in Quantization & Coherent State Methods, (eds.) S. Twareque Ali, M. Mladenov & A. Odzijewicz (World Scientific, 1993) 3-10.
• H.-D. Doebner. P. Stovicek & J. Tolar, "Quantization of Kinematics on Configuration Manifolds", Rev. Math. Phys. 13 (2001) 799-845; arXiv:math-ph/0104013.
• S. Fujiié, "WKB and Microlocal Approach to Various Bohr-Sommerfeld Quantization Rules", RIMs Kokyuroku 2268 (2023) 04.
• M. Giliberti & L. Lovisetti, Old Quantum Theory and Early Quantum Mechanics - A Historical Perspective Commented for the Inquiring Reader, (Springer, 2024)
• G.A. Goldin & D.H. Sharp. "A Universal Kinematical Group for Quantum Mechanics", arXiv:2404.18274.
• M. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics, (Springer-Verlag, 1990).
• C.J. Isham, "Topological and Global Aspects of Quantum Theory" in Relativity, Groups & Topology II, (eds.) B.S. DeWitt & R. Stora (North-Holland, 1984) 1061-1290.
• L.P. McGinness & C.M. Savage, "Action Physics", Am. J. Phys. 84 (2016) 704-708; arXiv:1507.06075.
• N. Sansonetto, "Monodromy and the Bohr-Sommerfeld Geometric Quantization" dalam Thirteenth International Conference on Geometry, Integrability and Quantization, June 3-8, 2011, Varna, Bulgaria, (eds.) I.M. Mladenov, A. Ludu & A. Yoshioka, (Avangard Prima, Sofia, 2012) pp. 32-=328.
• M.Z. Shaharir, "The Modified Hamilton-Schwinger Action Principle", J. Phys. A: Math. Nucl. Gen. 7 (1974) 553-562.
• D. Stone, "Einstein's Unknown Insight and the Problem of Quantizing Chaos", Phys. Today 58 (8) (2005) 37-43.
• P. Vickers, "Historical Magic in Old Quantum Theory", Euro. J. Phil. Sci. 2 (2012) 1-19.
• H. Zainuddin, "Group-Theoretic Quantization of a Particle on a Torus in a Constant Magnetic Field", Phys. Rev/ D 40 (1989) 636-641.
• Keith Zengel, "Why the Action?", Am. J. Phys. 92 (2024) 885-888.

Penerima Anugerah Hadiah Abel 2025: Masaki Kashiwara

Pada hari Rabu, 26 Mac 2025, Masaki Kashiwara dianugerahi Hadiah Abel 2025 oleh Akademi Sains Norway. Hadiah Abel merupakan Hadiah yang dianugerahkan  kepada ahli matematik seperti mana Hadiah Nobel dalam bidang sains asas lain. Penganugerahan Hadiah Abel kepada Kashiwara adalah atas sumbangan penting beliau dalam analisis beraljabar dan teori perwakilan, khususnya dalam membangunkan modul-D dan penemuan graf hablur (dalam konteks aljabar).

Apakah sebenarnya perincian sumbangan beliau sehingga diberi penghormatan bukan setakat Hadiah Abel, tapi turut dianugerahi Pingat Chern (2018), Hadiah Kyoto (2018) dan Asian Scientist 100 (2019) sebelum  ini?

Tema besar penyelidikan beliau adalah penyatuan bidang-bidang matematik aljabar, geometri dan analisis sepertimana penyelidikan matematik terkehadapan yang lain. Bidang aljabar adalah kajian struktur objek-objek matematik seperti nombor dan matriks, bidang geometri adalah kajian ruang abstrak manakala bidang analisis pula mengenai fungsi yang melibatkan konsep ketakterhinggaan. Antara penemuan beliau yang lebih khusus ialah membangunkan teori D-modul. Bagi ahli fizik, kita lebih sering menggunakan konsep ruang vektor dalam aljabar linear yang mana objek vektor ditakrif atas suatu medan nombor. Dengan ruang vektorlah, kita dapat membincang fungsi gelombang yang membawa perwakilan simetri sistem fizikal. Konsep ini dapat kita itlakkan kepada modul atas suatu gegelang (ring). Sepertimana skalar dari medan nombor bertindak ke atas vektor, pengitlakkan modul membolehkan perbicanngan operator ke atas unsur modul. Huruf D di depan D-modul teori Kashiwara adalah merujuk kepada operator pengoperasi pembeza (differential operator) bertindak ke atas unsur modul. Sepertimana ruang vektor mempunyai peranan dalam teori perwakilan (representation theory), begitu juga D-modul dapat mengayakan lagi teori perwakilan dan seterusnya membangunkan teori analisis beraljabar (algebraic analysis) yang elah dipelopori oleh penyelianya Mikio Sato. Berikut adalah jadual perbandingan teori ruang vektor dengan teori D-modul.

Aljabar Linear                      Analisis Beraljabar

Persamaan linear                    Persamaan pembeza linear
Nombor nyata                        Operator pembeza linear
Ruang vektor                         D-Modul

Satu aspek penyatuan lain penyelidikan Kashiwara adalah menyambung idea Sato dalam penggunaan konsep hiperfungsi (hyperfunction). Di sini penggunaan adjektif hiper adalah sama dengan konsep hiperpermukaan (hypersurface) yang mana dimensi 'permukaan' adalah kurang satu daripada dimensi ruang pembenaman (embedding space). Ideanya menganggap fungsi teritlak seperti taburan delta Dirac sebagai suatu hasiltambah linear fungsi kompleks pada satah atas kompleks (upper half plane) dengan fungsi kompleks pada satah bawah kompleks (lower half plane) dan memperlakukan hiperfungsi sebagai fungsi sempadan pada garis nyata yang membahagikan satah kompleks kepada satah atas dan satah bawah. Dengan ertikata lain, analisis kompleks dan analisis nyata disatukan  dalam analisis beraljabar. Penurunan fungsi kompleks kepada fungsi nyata turut menggunakan peralatan matematk canggih seperti gemal (sheaves) yang mempunyai kaitan dengan topologi beraljabar (algebraic topology) melalui aspek kohomologi, mengaitkan sifat setempat fungsi dengan sifat global fungsi. Tidak hairanlah, pembangunan D-modul ini membuka jalan kepada percambahan topik-topik tertinggi matematik yang hanya pakar-pakar sahaja dapat memahami benar apa yang berlaku.

Satu lagi penemuan Kashiwara adalah konsep asas hablur (crystal bases) dalam perwakilan kumpulan quantum (quantum groups). Konsep kumpulan quantum adalah pengitlakan atau canggaan kepada konsep kumpulan lazim dan ia sebenarnya suatu aljabar (bukan kumpulan yang sebenarnya lebih tegar) yang bergantung kepada parameter canggaan q. Asas hablur kemudian merupakan pengitlakan asas ruang vektor (seperti aljabar Lie) ke asas ruang yang lebih umum mewakili kumpulan quantum.

Agak sukar untuk membincangkan topik-topik abstrak yang dibawa oleh Kashiwara dan perihalan di atas hanya dapat menyentuh secara kasar sumbangan Kashiwara tanpa mendalami kerumitan persoalan penyelidikan beliau. Bagi mengetahui betapa besar dan sukarnya penyelidikan Kashiwara, pembaca boleh merujuk kepada makalah 'Fifty Years of Mathematics with Masaki Kashiwara' yang ditulis oleh rakan penyelidik Kashiwara sendiri, iatu Pierre Schapira.

Kashiwara merupakan pemenang Hadiah Abel Asia pertama. Lebih menarik lagi adalah pendidikan formal Kashiwara semua dibuat di Jepun sendiri. Namun demikian pendedahan kepada komuniti luar pada komuniti matematik antarabangsa berlaku pada zaman penyelidikannya yang terkemudian (melalui bantuan penyelianya). Kashiwara sendiri adalah secara khusus hasil tradisi matematik kuat yang bertapak di Research Institute for Mathematical Institute (RIMS) di Kyoto. Malah terdapat sejenis citarasa matematik berlainan yang dibawa oleh RIMS sehingga penulis sendiri beranggapan jika mahu membangunkan matematik tinggi acuan sendiri, bolehlah merujuk kepada RIMS dan lebih khusus kepada penyelidikan Kashiwara dan rakan-rakan penyelidiknya untuk dijadikan contoh.

Meraikan Tahun Sains & Teknologi Quantum

Catatan awal: Saya kembali menggunakan perkataan quantum (sebagai ganti kuantum) supaya istilah qubit (dan bukan kubit) kekal. Penggunaan dibuat khas untuk istilah saintifik khusus quantum sahaja; bagi istilah lain seperti quality, kita kekalkan dengan penggunaan kualiti (dengan huruf k).

Tahun 2025 telah diisytiharkan sebagai Tahun Antarabangsa Sains dan Teknologi Quantum (International Year of Quantum Science & Technology). Kenapa tahun 2025 dipilih sedemikian? Tahun 2025 merupakan ulang tahun ke-100 bagi tiga kertas kerja awal formulasi mekanik quantum lengkap oleh Heisenberg, Born dan Jordan (boleh baca perbincangan di sini). Formulasi mekanik quantum mereka kadangkala dipanggil mekanik matriks kerana muncul matriks tak terhingga dalam formulasi ini. Juga pada tahun 1925, Dirac menerbitkan kertas kerja yang menjadi asas kepada proses pengquantuman sebagai asas pembinaan mekanik quantum. Pada tahun berikutnya (1926), Schroedinger mengemukakan formulasi alternatif mekanik gelombangnya (boleh baca di sini). Pada tahun yang sama, Schroedinger menunjukkan kesetaraan kedua formalisme mekanik quantum ini (boleh baca di sini).

Dengan wujudnya formalisme mekanik quantum, banyak fenomena fizik dapat dijelaskan atay diperihal pada peringkat mikroskopik (atom dan molekul). Dapat dikatakan mekanik quantum atau lebih umum, teori quantum merupakan teori yang sangat berjaya samada membangunkan asas mikroskopik atau menemukan teknik atau fenomena baharu. Antara kejayaan mekanik quantum ialah membangunkan pelbagai jenis spektroskopi yang mencirikan jirim, memerihalkan pengkonduksian dalam logam, semikonduktor dan insulator (menjadi asas peranti elektronik) serta penjanaan laser dan seterusnya membawa kemajuan pelbagai jenis teknologi. Bukan setakat itu sahaja, mekanik quantum menjadi asas kepada pembangunan teori peringkat subatom seperti fizik nuklear dan fizik zarah, melalui teori medan quantum. Secara umum, mekanik quantum dikatakan dapat memerihal (hampir) semua fenomena fizik peringkat mikroskopik. Oleh yang demikian, tidak salah dikatakan penemuan mekanik quantum pada tahun 1925 merupakan revolusi quantum pertama.

Jika ada revolusi pertama, wujudkah revolusi quantum kedua? Istilah Revolusi Quantum Kedua mula diutarakan oleh Dowling dan Milburn dalam kertas kerja mereka pada tahun 2002. Apakah yang berlaku sejak revolusi 1925? Kemajuan teknologi telah membolehkan manipulasi fenomena fizik yang pada asalnya berasaskan entiti fizikal yang bersifat pukal hinggalah ke peringkat dimensi yang sangat kecil atau dalam keadaan yang ekstrim (seperti superkonduktor). Sebagai contoh, dimensi objek dalam nanoteknologi sudah pun berada dalam skala 100nm (sekitar 1000 atom). Dalam lewat 80-an, sudah ada pun teknologi memanipulasi atom tunggal. Lebih awal lagi adalah teknologi foton tunggal iaitu sekitar pertengahan 70-an. Dengan kemajuan sedemikian, tidak hairan eksperimen yang memanipulasi kesan quantum secara terus dapat dilakukan dan seterusnya membangun teknologi quantum. 

Perkembangan lain yang membawa kepada revolusi quantum kedua adalah penyatuan sains dan teknologi maklumat (information science & technology) dengan teknologi quantum. Jika teori maklumat klasik melibatkan pemprosesan bit (maklumat yang dapat dikod menggunakan digit 0 dan 1), dalam teknologi quantum dapat direalisasikan dengan entiti qubit. Di samping pengkodan asas kepada 'digit' (keadaan asas quantum) 0 dan 1, sistem quantum membenarkan superposisi antara 0 dan 1. Secara keseluruhan, ruang manipulasi maklumat yang mungkin dapat dicirikan dengan kontinum nombor kompleks. Walaupun demikian, proses pengukuran melibatkan pengunjuran kepada maklumat asas setara dalam bentuk kebarangkalian. Sifat-sifat ini menyebabkan ciri teori maklumat quantum sangat berbeza daripada teori maklumat klasik.

Sepertimana teori maklumat klasik mempunyai hubungan rapat dengan pengkomputeran, teori maklumat quantum membuka jalan kepada konsep pengkomputeran quantum. Antara saranan awal pengkomputeran quantum dapat dibangunkan adalah dari Feynman sendiri. Dalam suatu makalah, Feynman, komputer quantum dapat membantu membuat simulasi sistem quantum. Tetapi komputer quantum boleh mempunyai aplikasi melampaui simulasi sistem quantum seperti yang digambarkan oleh Feynman. Pada tahun 1994, Peter Shor bangunkan suatu algoritma efisien penyelesaian pemfaktoran nombor perdana yang melibatkan ciri superposisi quantum. Masalah pemfaktoran nombor perdana bagi nombor besar diketahui sukar sehingga menjadi asas kriptosistem RSA. Memandangkan algoritma ini bukan suatu yang berasalkan masalah sistem quantum dan ia mempunyai kegunaan meluas dalam sains komputer, perkembangan ini mencetus minat ramai saintis untuk memajukan lebih lanjut bidang algoritma quantum (lihat tinjauan umum di sini). Secara tidak langsung, perkembangan ini memulakan perlumbaan membangunkan komputer quantum fizikal yang boleh menjalankan algoritma quantum.

Pembangunan teknologi komputer quantum bukanlah suatu yang mudah kerana memerlukan berbilang komponen sistem quantum yang begitu sensitif dengan hingar persekitaran. Sebagai tambahan, seperti yang tersebut sebelum ini, output komputer quantum melibatkan pengukuran berkebarangkalian hasilnya. Cabaran terbesar adalah memastikan pengkomputeran yang dijalankan oleh komputer quantum adalah seperti apa yang disasarkan, bebas kesilapan (fault tolerant). Sepertimana pengkomputeran lazim yang memerlukan kod pembetulan ralat, begitu juga komputer quantum. Lebih kritikal, jenis ralat bagi qubit adalah lebih besar (melibatkan fasa relatif) berbanding bit klasik. Dengan itu, bilangan qubit fizikal perlu diganda dengan lebih banyak bagi mewakili qubit logik yang diperlukan untuk menjalankan algoritma quantum yang dikehendaki. Sebagai contoh, menurut Gidney & Makera, bagi menjalankan algoritma Shor bagi memfaktorkan integer RSA 2048-bit, ia memerlukan sebanyak 20 juta qubit fizikal berhingar. Sudah tentu realisasi sistem qubit sedemikian memerlukan usaha kejuruteraan yang mengagumkan.

Selain masalah kejuruteraan membangunkan komputer quantum, apakah sebenarnya aspek algoritma quantum yang memberi kelebihan atau faedah quantum (quantum advantage) itu sendiri masih belum difahami sebenarnya. Sebarang kemajuan dalam pembangunan algoritma quantum turut diekori dengan kemajuan dalam algoritma pengkomputeran lazim (lihat di sini). Jadi perbandingan pengkomputeran quantum dengan yang lazim tidaklah semudah yang disangka. Malah, kini dalam sains komputer, sudah wujud bidang algoritma berinspirasikan quantum yang menunjukkan impak bidang pengkomputeran quantum.

Jadi apakah peranan kita dalam meraikan Tahun Antarabangsa Sains dan Teknologi Quantum di sini. Lazimnya, kita cuba tonjolkan usaha negara kita dalam membentuk sains & teknologi quantum. Lebih penting lagi adalah apa yang kita perlu buat untuk masa depan sains & teknologi quantum di negara kita. Sudah tentu kita juga tidak mahu ketinggalan dalam bidang ini. Jika kita ambil sahaja kertas kerja Shor sebagai titik tolak revolusi quantum ke-2, ilmu pengkomputeran quantum sudah pun bertapak lebih tiga puluh tahun; secara tidak langsung menunjukkan usaha di Malaysia agak lewat. Lebih lama lagi penemuan mekanik quantum itu sendiri sudah sampai seratus tahun tapi ekosistem penyelidikan quantum hanya mula segar hanya satu atau dua dekad berbanding daengan bidang sains fizikal yang lain. Usaha berterusan perlu ada untuk mengekalkan penyelidikan sains dan teknologi quantum yang lebih stabil. Pernah seorang profesor dari negara jiran menyebut bahawa (ketika itu) kita sudah pun ada kepakaran di universiti tempatan masing-masing bekerja secara berasingan. Sudah sampai masanya kepakaran yang ada ini, bekerjasama dalam apa cara yang boleh. Alhamdulillah, kini sudah ada MyQI yang mengambil cabaran ini dan mamjukan sains & teknologi quantum di Malaysia. Syabas!

Rujukan: 

• S. Aaronson & Lijie Chen, "Complexity-Theoretic Foundations of Quantum Supremacy Experiments".
• I.J.R. Aitchison, D.A. MacManus & T.M. Snyder, "Understanding Heisenberg's 'Magical' Paper of July 1925: A New Look at the Calculational Details", Am. J. Phys. 72 (2004) 1370-1379; arXiv: quant-ph/0404008.
• J.M. Arrazola, A. Delgado, B.R. Bardhan & S. Lloyd, "Quantum-Inspired Algorithms in Practice", Quantum 4 (2020) 307.
• A. Blum & M. Jahnert, "Quantum Mechanics, Radiation and the Equivalence Proof", Archive for History of Exact Sciences 78 (2024) 567-616.
• I.H. Deutsch, "Harnessing the Power of the Second Quantum Revolution", PRX Quantum 1 (2020) 020101 (13pp.).
• P.A.M. Dirac, "The Fundamental Equations of Quantum Mechanics", Proc. Royal Soc. A 109 (1925) 642-653.
• J. Dowling & G. Milburn, "Quantum Technology: The Second Quantum Revolution", Phil. Trans. Royal Soc. A 361 (2003) 1655-1674; arXiv: quant=ph/0206091.
• R.P, Feynman, "Simulating Physics With Computers", Int. J. Theor. Phys. 21 (1982) 467-488.
• C. Gidney & M. Ekera, "How to Factor 2048 Bit RSA Integers in 8 Hours Using 20 Million Noisy Qubits", Quantum 5 (2021) 433; arXiv: 1905.09745.
• J. Roffe, "Quantum Error Correction: An Introductory Guide", Contemporary Phys. 60 (2019) 226-245; arXiv: 1907.11157.
• E. Schroedinger, "An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules", Phys. Rev. 26 (1926) 1049-1070.
• P.W. Shor, "Algorithms for Quantum Computation: Discrete Logarithms and Factoring", in Proceedings 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science 20-22 Nov. 1994 (IEEE, 1994) pp124-134.
• P.W. Shor, "Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Algrithms on a Quantum Computer", SIAM J. Computing 26 (1997) 303-332.
• B.L. Van Der Waerden (ed.), Sources of Quantum Mechanics, (Dover, 1967).

Bagaimana Hendak Mengajar Mekanik Kuantum?

Dalam mana-mana projek pengajaran atau penulisan mekanik kuantum, apakah pendekatan yang terbaik menjadi soalan yang perlu dijawab. Antara laungan yang lazim kita dengar adalah kita perlu ubah cara kita mengajar mekanik kuantum, khususnya apabila dipertimbangkan perkembangan maklumat kuantum (quantum information) dan pengkomputeran kuantum (quantum computing) terkini. 

Lazimnya pendekatan bersejarah menjadi mangsa dalam usaha pembaharuan cara pengajaran mekanik kuantum. Pembuangan aspek sejarah akan hilangkan dikotomi klasik-kuantum yang agak penting dalam menunjukkan betapa perlunya jenis hukum fizik baharu berlainan daripada apa yang ada pada fizik klasik. Secara peribadi, dikotomi ini perlu diperkenalkan kepada pelajar walaupun secara ringkas. Oleh yang demikian, pengenalan ringkas sejarah teori kuantum sebaiknya perlu ada dalam pengajaran/penulisan mekanik kuantum.

Bagaimana pendekatan seterusnya? Ada dua formalisme major mekanik kuantum yang boleh dipilih: (i) formalisme aljabar; (ii) formalisme fungsi gelombang.

Formalisme aljabar, dari satu segi, lebih dekat dengan perkembangan terkini tentang pengkomputeran kuantum. Khususnya, penggunaan qubit (atau kubit? - lihat perbincangan di sini; perlukah konsistensi/ketaatasaan) sebagai realisasi paling mudah sistem kuantum iaitu sistem kuantum dua paras. Kelebihan pendekatan ini ialah memudahkan pengenalan teori kuantum terus kepada pelajar berlatarbelakang matematik pra-universiti. Lazimnya matriks 2×2 sudah diperkenalkan dalam matematik pada peringkat pra-universiti. Pengitlakkan kepada matriks tertib lebih tinggi boleh diperkenal seterusnya. Boleh juga ditonjolkan di sini sememangnya dari urutan sejarah mekanik matriks Heisenberg muncul terlebih dahulu sebagai formalisme mekanik kuantum (berbanding dengan mekanik gelombang Schroedinger). Namun, perlu diingatkan mekanik matriks Heisenberg melibatkan matriks ketakterhinggaan yang sudah tentu sukar untuk dibayangkan oleh pelajar peringkat awal - mengapa perlu tertib ketakterhinggaan? Selain itu, aspek pengasingan konsep keadaan kuantum (quantum state) dengan konsep pembolehcerap (observables) sukar dijustifikasi tanpa pengenalan yang lebih lanjut. Mekanik matriks Heisenberg menekan lebih aspek pembolehcerap berbanding dengan keadaan kuantum dan beralih dari pembolehcerap ke keadaan kuantum adalah lebih sukar atau abstrak untuk dijelaskan. Dengan itu, pendekatan ini menyulitkan bagi pelajar yang sudah biasa dengan konsep keadaan sebagai maklumat optimum bagi memerihalkan keadaan fizik sesuatu sistem (analogi konsep keadaan dalam gas ideal).

Satu lagi kekurangan pendekatan aljabar ini ialah menjelaskan aspek kebarangkalian teori kebarangkalian atau lebih tepat lagi amplitud kebarangkalian. Kekurangan ini dapat diatasi dengan memberi pengenalan kepada nilaian unit jumlah kuasa dua kosinus arah (bertepatan dengan nilaian unit jumlah kebarangkalian). Konsep tersebut seharusnya diajar dalam geometri tetapi masalahnya geometri kurang diajar secara mendalam pada peringkat pra-universiti atau awal pengajian sarjana muda. Secara keseluruhan, kelebihan penting pendekatan aljabar teori kuantum ini lebih kepada aspek pengiraannya yang lebih mudah dibuat, tanpa perlu kepada kalkulus. Kelebihan ini, dari satu segi, mengatasi aspek abstrak formalisme aljabar mekanik kuantum dan memindahkan kemahiran pengiraan merupakan aspek utama dalam pengajaran teori kuantum.

Formalisme fungsi gelombang sedikit sebanyak dapat membantu intuisi pelajar terhadap memahami teori kuantum. Contohnya, jika kita ambil kedualan zarah-gelombang deBroglie sebagai sifat semesta (universal), banyak sifat kualitatif sistem mikroskopik dapat kita jelaskan, seperti aspek penyetempatan (localization) dan pentaksetempatan (delocalization) dalam jirim terkondensasi. Dari sudut asas teori kuantum (quantum foundations), memang banyak masalah yang akan muncul dengan kedualan gelombang dalam aspek penafsiran tero kuantum. Kini, sudah ada gerakan yang cuba bangunkan semula teori kuantum dengan menidakkan aspek gelombang. Walau pun menarik, saya berpendapat agak terlalu awal dalam menidakkan sifat gelombang dalam teori kuantum. Tersirat dalam sifat gelombang ini adalah prinsip ketakpastian Heisenberg, penggunaan nombor kompleks dan konsep rambatan dalam ruang-masa (lebih baik, pengaburan ruang fasa) yang masih bersifat abstrak/ghaib. Apakah ini memberi petunjuk kepada suatu yang lebih asas, tidak dapat kita 'jawab' dengan teori yang kita ada setakat ini. Yang pasti, aspek gelombang ini membolehkan kita memahami bagaimana spektra pembolehcerap, samada diskrit atau selanjar ataupun jalur, muncul dalam pengukuran. Dalam ertikata lain, aspek spektra-lah (secara tak langsung sifat gelombang) yang membolehkan pengcirian jirim dengan pelbagai spektroskopi, suatu aplikasi penting teori kuantum. Selain daripada aspek spektrum, formalisme mekanik gelombang ini dapat juga membangunkan intuisi orbital yang sangat diperlukan dalam membincang aspek kimia sistem kuantum. Secara keseluruhan, formalisme boleh membangunkan intuisi bagaimana fizik kuantum beroperasi.

Antara kekurangan pendekatan fungsi gelombang pula adalah penglibatan kalkulus yang agak tinggi dan juga pengiraan yang lebih rumit berbanding dengan pendekatan aljabar. Suatu masalah muncul apabila kita ingin memuatkan subjek mekanik kuantum dalam kurikulum sarjana muda. Menyelesaikan persamaan Schroedinger sepenuhnya dalam formalisme mekanik gelombang memerlukan kemahiran menyelesaikan persamaan pembezaan yang lazim diajar hanya selepas melalui kursus kalkulus awal dan lanjutan. Bukan sekadar itu, pengetahuan fungsi-fungsi khas juga diperlukan bagi menyelesaikan persamaan Schroedinger bagi sistem kuantum yang lebih realistik, melangkaui sistem keupayaan datar cebis demi cebis (piecewise flat potentials). Aspek-aspek ini boleh menyukarkan pembelajaran mekanik kuantum.

Setelah membincangkan kelebihan dan kekurangan dua formalisme mekanik kuantum ini, kita boleh simpulkan yang berikut:

• Jika ingin membangunkan kemahiran pengiraan lebih awal, pilihlah formalisme aljabar mekanik kuantum sebagai pendekatan pertama.
• Jika ingin membangunkan intuisi fizik kuantum terlebih dahulu, pilihlah formalisme mekanik gelombang sebagai pendekatan pertama.

Dalam pengajaran mekanik kuantum yang telah saya berikan sebelum ini adalah mendahulukan mekanik gelombang. Apakah dengan perkembangan maklumat kuantum dan pengkomputeran kuantum, pendekatan ini perlu diubah? Ini bergantung sangat kepada bagaimana kurikulum fizik dibangunkan dan apa kepentingan yang ingin ditonjolkan. Pada hemat saya, jika mekanik kuantum dapat diasingkan daripada maklumat kuantum, itu lebih baik dan pendekatan aljabar boleh dibuat terus bagi kursus maklumat kuantum.

Ada juga rakan-rakan yang menyarankan aspek baharu seperti keterbelitan (entanglement) dan kekontekstualan (contextuality). (Catatan: Setakat ini tiada istilah contextuality dalam bahasa Melayu, tetapi context dipinjam secara terus sebagai konteks.) Kedua-dua konsep ni memerlukan sistem komposit kuantum yng lazim diperkenalkan pada penghujung kursus mekanik kuantum awal atau kursus mekanik kuantum lanjutan. Memperkenalkan konsep-konsep ini pada peringkat awal mungkin agak rumit dan memerlukan pembangunan teliti topik-topik yang ada. Sebagai contoh, sistem komposit perlu guna hasildarab tensor dan ciri matematik ini boleh dibangunkan sewaktu pengenalan sistem tiga dimensi atau kes pembolehcerap serasi yang tak bersandar linear. Jelas sekali bahawa kedua-dua ini berkehendakkan teori kuantum yang lebih asas dibangunkan terlebih dahulu. Cara lain adalah dengan memuatkan konsep-konsep ini dalam kursus berlainan seperti maklumat kuantum ataupun kursus baru seperti Asas dan Falsafah Kuantum (Quantum Foundations and Philosophy).

Apa yang pasti, pengajaran mekanik kuantum memerlukan pemikiran yang lebih teliti di samping mengikuti perkembangan terkini sains dan teknologi kuantum.

PS: Sebarang maklumbalas tentang perkara di atas, sangatlah dihargai.

Kuantum atau Quantum

Apabila saya kembali ke tanah air dan diminta mengajar teori kuantum (pengkhususan saya), banyak yang saya perlu terjemahkan istilah dalam teori tersebut. Ketika itu, saya bergantung hampir sepenuhnya kepada Istilah Dewan Bahasa dan Pustaka. Sekiranya tiada istilah yang saya rasa sesuai, saya akan rujuk kepada buku istilah yang diterbitkan oleh Penerbit UKM. Memang ada juga istilah yang saya rasa kurang sesuai apabila kita fahami konteks atau teori yang terlibat tapi lazimnya saya akan ketepi persoalan ini seboleh mungkin.

Dalam sedekad kebelakangan ini, terfikir juga saya untuk menukarkan istilah kuantum kepada quantum. Bukan kerana istilah ini lebih dekat dengan perkataan Inggerisnya, tetapi kerana ingin mengayakan bahasa Melayu dengan lebih banyak perkataan menggunakan huruf 'q' dan tidak lebih dari itu. Terfikir juga bahawa dalam bahasa Arab ia lebih dekat dengan penggunaan huruf 'qaf' (ق). Rasanya kebanyakan perkataan yang bermula dengan qaf turut ditukarkan kepada huruf 'k' kecuali beberapa perkataan.

Bagaimanakah perkataan quantum diterjemahkan dalam bahasa Arab? Menurut laman web ini, ia diterjemah sebagai نَظَريّة الكَمِّ dengan كَمّ sebagai istilah kuantum, iaitu menggunakan huruf kaf (ك). Dengan itu, berdasarkan huruf, mungkin lebih baik istilah 'kuantum' sahaja.

Terkubur sementara hasrat menggunakan istilah 'quantum'.
Apakah pandangan pembaca atau lebih baik lagi pakar bahasa?

Reduksionisme dan Kemunculan

Pernah kita terdengar dalam perbincangan santai bahawa biologi adalah kimia gunaan, kimia pula adalah fizik gunaan dan mungkin ada pula yang akan menyambung fizik adalah matematik gunaan. Lebih ganjil dan mungkin menjengkelkan ialah sains sosial adalah biologi gunaan. Ini menurunkan aspek manusiawi kepada perihalan gumpalan sel manusia. Sudah tentu contoh akhir ini berlawanan apa yang kita rasai sebagai makhluk yang mempunyai daya fikir dan tindakan, merubah alam persekitaran dengan begitu hebat sekali berbanding dengan makhluk lain. 

Jalur pemikiran dalam perkara di atas mengambil sains suatu peringkat supaya dapat diungkapkan dalam sains yang lebih asas (atau sains perihalan objek yang lebih asas mengikut hierarki objek fizikal). Jalur pemikiran ini dilabel sebagai reduktionisme (reductionism). 'Berlawanan' dengan reduktionisme adalah aspek kemunculan (emergence) yang turut dibincang dalam fizik. Dengan kemunculanlah, ciri-ciri tambahan dikatakan muncul pada sistem fizik bersifat majmuk atau sebatian (compound). Sebagai satu contoh masalah reduktionisme-kemunculah adalah ketakberbalikan masa (time irreversbility). Persamaan gerakan (mekanik) yang ada dalam fizik, hampir kesemuanya bersifat bersimetri masa (time symmetric) iaitu jika parameter masa t diganti dengan − t (t negatif), akan tetap sah persamaan gerakannya. Dengan itu, hukum fizik tetap sama atau berlaku jika dibalikkan arah masa. Maka persoalannya bagaimana pengalaman harian kita menunjukkan masa hanya  dalam arah masa depan sahaja. Dua tempat di mana hukum asas fizik tidak bersimetri masa ialah

• Hukum termodinamik kedua (entropi sentiasa meningkat dalam sistem tertutup). Catatan: Hukum ini bukanlah bentuk persamaan gerakan dan lebih bersifat empirik.
• Perlanggaran simetri CP (gabungan simetri pariti atau songsangan ruang dengan konjugasi cas) dalam teori medan kuantum. Dalam teori ini, gabungan CPT dengan simetri songsangan masa T akan berlaku atau sah bagi smeua proses. Maka perlanggaran simetri CP akan membawa implikasi simetri T juga akan turut dilanggar. Catatan: Darjah perlanggaran simetri CP dianggap sangat kecil.

Walaupun adanya kedua-dua perkara di atas, ketakberbalikan masa masih dianggap tidak selesai kerana kedua0dua fenomena ini tidak dapat dimuatkan secara terus dalam pengalaman seharian kita (rantaian kebesebaban tidak jelas).

Berbalik kepada masalah reduktionisme-kemunculan yang disebut pada awal hantaran, perlunya takrifan yang lebih jelas mengungkapkan bagaimana proses reduktionisme dan proses kemunculan berlaku. Untuk itu, menarik kita bawa perhatian kepada buku karangan Sergio Chibbaro, Lamberto Rondoni dan Angelo Vulpiano yang bertajuk Reductionism, Emergence and Levels of Reality - The Importance of Being Borderline.

Buku ini mempunyai tujuh bab seperti tersenarai di bawah:

• A Galilean Dialogue on the Levels of Reality
• A Random Journey from Monism to the (Dream of) Unity of Science
• A First Attempt to Tame Complexity: Statistical Mechanics
• From Microscopic Reversibility to Macroscopic Irreversibility
• Determinism, Chaos and Reductionism
• Quantum Mechanics, its Classical Limit and its Relation to Chemistry
• Some Conclusions and Random Thoughts

Buku ini turut dihiasi dengan prakata oleh Sir Michael Berry yang menyatakan lazimnya ahli falsafah akan membincangkan apa yang dibawa oleh ahli fizik tetapi buku ini menunjukkan sebaliknya, bahawa ahli fizik boleh mendatangkan idea falsafah bagi perkembangan ilmiah seterusnya. Perlu ditekankan di sini skop perbincangan buku ini dihadkan kepada fizik dan kimia yang lebih diketahui asasnya.

Perbincangan reduktionisme bertitik tolak dengan andaian wujudnya juzuk binaan asas, lazimnya dipanggil atom (dalam pelbagai jelmaannya setiap zaman). Teori peringkat juzuk binaan ini membentuk sains peringkat rendah (lower level science) dan apabila juzuk binaan ini dihimpun dengan lebih banyak, perihalan peringkat ini membentuk sains peringkat tinggi (higher level science). Menghubungkan kedua-dua peringkat sains ini semestinya ada prinsip titian (bridge principles) yang mengaitkan pembolehubah yang digua pada setiap peringkat sainsnya. Secara ringkas, skema reduktionisme dapat dihuraikan mengikut item-item di bawah:

• Hukum peringkat rendah (Low level laws)
• Prinsip titian
• Syarat sempadan dan pemodelan
• Hukum peringkat tinggi (High level laws)

Yang selalu menjadi persoalan di sini adalah item kedua dan ketiga dan perkara ini berubah mengikut sistem fizik yang dibincangkan. Contoh lazim yang dipakai adalah hubungan antara mekanik statistik dengan termodinamik. Bagi mekanik statistik, parameter penting adalah bilangan zarah N (atom atau molekul), manakala bagi termodinamik, parameter yang boleh diambil adalah isipadu V. Hubungan titian yang diambil adalah seperti berikut:

N → ∞   dengan   N/V = pemalar .

Contoh lain yang lazim adalah dari zarah bendalir ke mekanik bendalir. Di sini juga ada aspek had yang diambil berdasarkan dimensi sel bendalir yang diambil. Pengambilan had merupakan suatu hubungan titian yang penting dan ini membuka ruang kepada kemungkinan had yang singular yang dapat membentuk struktur seperti yang dikehendaki oleh aspek kemunculan. Had yang singular jugalah yang berupaya memperihal peralihan fasa (phase transition) dalam mekanik statistik.

Seterusnya apakah dia kemunculan? Bagaimana kita dapat mencirikan fenomena kemunculan? Di sini, ahli falsafah membezakan fenomena yang boleh diungkapkan terus melalui pembolehubah gabungan (collective variables) menerusi gabungan pembolehubah asas dengan fenomena yang benar-benar bersifat novel yang boleh muncul. Bagi yang pertama, teori peringkat tinggi boleh diungkapkan secara terus dengan teori peringkat rendah tanpa keperluan penambahan struktur baharu. Kemunculan ini dinamakan sebagai mengambilalih (supervene); di sini mengambil analogi istilah intervene sebagai mengantara. Dengan itu, kita hadkan kemunculan kepada fenomena yang benar-benar mempunyai aspek baharu yang tiada dalam teori peringkat rendah.

Dalam bab 3, kes termodinamik terturun ke mekanik statistik diperincikan dengan mengangkat teori Ludwig Boltzmann yang menjuarai teori atom. Boltzmann menggunakan dua unsur bagi prinsip titian:

• hipotesis ergodik yang mengaitkan purata masa (penting dalam aspek pengukuran - juga perkara yang dianggap penting oleh pengarang) dengan purata ruang fasa (ruang yang memerihal keadaan mekanik)
• rumus entropi Boltzmann S = k log W ; S merupakan pembolehubah makroskopik manakala maklumat mikroskopik terdapat dalam W (mikrokeadaan) dan k pula adalah pemalar Boltzmann.

Teori ini menunjukkan bagaimana konfigurasi W (dengan bilangan konfigurasi/mikrokeadaan (microstates) yang besar) akan berubah mengikut tren yang mengekstremumkan entropi S. Had yang diambil dikenali sebagai had termodinamik. Pelbagai fenomena dapat dijana dengan formalisme mekanik statistik ini termasuklah peralihan fasa bahan menurut pemodelan tertentu. Turut berlaku di sini adalah kemuncuan aspek ketakberbalikan akibat bilangan besar darjah kebebasan/mikrokeadaan sistem. Sedikit permasalahan timbul apabila teori Boltzmann ini bertembung dengan teori perulangan Poincare (Poincare recurrence theory). Masalah ini dapat diatasi dengan menunjukkan masa keberulangan ini tersangat lama atas sebab yang sama iatu bilangan mikrokeadaan yang sangat besar bagi objek makroskopik. Dengan itu, secara praktis, keberulangan bagi objek makroskopik tidak akan berlaku.

Sehubungan dengan teori Poincare, wujud permasalahan lain yang mula disedari secara eksplisit pada sekitar tahun 60-70an. Suatu sistem deterministik tidak semestinya mempunyai sifat kebolehramalan (predictability) dan ketika itu terbitlah suatu teori huru-hara/kacau-bilau (chaos). Catatan: Istilah asal ini diambil dari DBP dan Etisas UKM, namun penulis mendapati istilah kekalutan lebih sesuai digunakan (terima kasih kepada komen di FB). Ini menyukarkan lagi pemberian ciri bagi sistem fizik kerana sifat ketidakbolehramalan ini menghumban semula kerawakan (randomness) dalam sifat sekata (regular) bagi sistem deterministik. Pengajaran besar yang dibawa oleh episod ini suatu sistem yang kompleks tidak semestinya boleh dihuraikan sebagai gabungan sistem yang mudah. Ini membawa implikasi yang besar terhadap sistem makroskopik yang lazim difikirkan sebagai sistem berbilang jasad yang digabung secara mudah. Dalam perspektif ini, kelihatan kemunculan yang bersifat pengambilalihan (supervenience) boleh sahaja kita tolak tepi dan kemunculan yang ada lazimnya bersifat tulen (genuine) dengan kebergantungan kepada bagaimana kebolehramalan gagal dalam sistem deterministik.

Tahap kerumitan terakhir adalah apa yang disaji pada awal kurun ke-20 iaitu munculnya teori quantum. Teori quantum mengambil kerawakan sebagai suatu yang intrinsik kepada sistem fizik mikroskopik. Mungkin pada peringkat ini, ada pembaca yang terfikir mungkinkah kerawakan sistem quantum wujud selari dengan ketakbolehramaln seperti yang disebut di atas. Ada sahaja ahli fizik yang berpendapat sebegitu seperti Einstein (yang mempercayai teori quantum tidak lengkap) atau 't Hooft, pemenang Hadiah Nobel Fizik yang talah menyarankan formulasi semula sistem quantum yang mempunyai persamaan deterministik atau lebih dekat lagi dengan teori huru-hara/kelam-kabut adalah seperti teori Tim Palmer bersama Sabine Hosselfelder. Namun, di sini diteruskan dengan teori quantum sperti yang dipelajari ramai. Bagaimanakah teori quantum mengendali sistem berbilang jasad seperti objek makroskopik? Benarkah kimia hanya teori quantum gunaan seperti yang lazim dilaungkan? Di sinilah buku di atas mengatakan tidak. Apabila ahli fizik ingin menggunakan fizik quantum untuk memerihal sistem yang lebih kompleks, kita akan dapati aspek tambahan dibawa menyusup masuk ke dalam teori quantum seperti penghampiran semiklasik, penghampiran Born-Oppenheimer, fungsian ketumpatan (density functional), petua Hund dan sebagainya, masing-masing bukanlah suatu yang berasal dari asas quantum sendiri tapi terbentuk melalui intuisi ahli fizik. Maka, apakah kita perlu hairan dengan aspek munculan ini timbul dalam perihalan quantum sistem yang kompleks? Jika kita perhati perkembangan teori jirim terkondensasi (condensed matter), banyak aspek permodelan dilakukan dengan intuisi ahli fizik.

Di sini diulangi beberapa perkara penting yang boleh kita pelajari sebagai tempat di mana kemunculan akan menyerap masuk dalam fizik:

• Hukum Boltzmann dan kebergantungannya kepada aspek pengukuran.
• Pengambilan had yang mengaitkan sistem mikroskopik dengan sistem makroskopik serta aspek singularnya
• Sistem kompleks dan aspek kebolehramalan
• Pemodelan sistem fizik termasuk kes sistem quantum

Gambar di bawah adalah penulis bersama salah seorang pengarang buku di atas, Lamberto Rondoni ketika beliau melawat Institut Penyelidikan Matematik di UPM.

Rujukan:

• Sergio Chibbaro, Lamberto Rondoni & Angelo Vulpiani, Reductionism, Emergence and Levels of Reality, (Springer, 2014)
• A.L. Kuzemsky, "Thermodynamic Limit in Statistical Physics", Int. J. Mod. Phys. B 28 (2014) 1430004
• G.  't Hooft, The Cellular Automaton Interpretation of Quantum Mechanics, (Springer, 2016) dan kertas kerja beliau berkaitan
• S. Hossenfelder & T. Palmer, "Rethinking Superdeterminism", Frontiers in Physics 8 (2020) 253
• S.M. Girvin & Kun Yang, Modern Condensed Matter Physics (Cambridge University Press, 2019)