8.5.22

Pencirian Ruang dan Model Sullivan

Pada 23 Mac 2022, Norwegian Academy of Science (Akademi Sains Norway) mengumumkan penganugerahan Hadiah Abel 2022 kepada Dennis Sullivan, seorang ahli topologi Amerika, penyandang kerusi profesor Albert Einstein di City University of New York dan profesor ulung di Stony Brook University. Penganugerahan Hadiah Abel ini adalah atas sumbangann teknik baharu beliau dalam bidang topologi yang melibatkan aspek-aspek aljabar, geometri dan sistem dinamik.

Hantaran blog ini akan fokus kepada salah satu penemuan awal beliau iaitu dalam teori homotopi pecahan (rational homotopy theory). Sebelum menjurus kepada topik ini, kita perlu sedikit gambaran apakah topologi secara mudah. Topologi berkait rapat dengan konsep ruang yang banyak dibincang dalam fizik seperti ruang-masa, ruang fasa (ruang kedudukan bersama halaju) dan tidak terhad kepada ruang yang nampak. Ruang momentum, contohnya, sangat penting dalam membincangkan cirian bahan-bahan topologi dalam sains bahan. Dalam membincang topologi, lazimnya kita akan diberi contoh cawan itu sama dengan donat (lihat gambarajah).

Proses yang terlibat yang menyamakan dua objek di atas adalah canggaan (proses yang mengandaikan keselanjaran). Oleh yang demikian, topologi kadangkala diberi gelaran geometri bak getah. Aspek topologi yang cuba digambarkan di atas adalah berapa lubang yang ada pada permukaan cawan dan permukaan donat (iaitu satu). Permukaan yang lebih kaya cirinya adalah permukaan pretzel atau dwitorus (dwidonat) dengan dua lubang (gambarajah di bawah).
Bilangan lubang pada permukaan secara matematik dipanggil genus. Ada dua perkara asas di sini: (i) konsep permukaan iaitu ruang dua dimensi; dan (ii) pengiraan genus yang melibatkan nombor tabii atau lebih umum integer. Objek-objek yang berlainan dimensi dikatakan mempunyai topologi berbeza seperti titik dimensi sifar berbeza dengan garisan lengkung satu-dimensi yang berbeza pula dengan permukaan sfera dua dimensi.


Lazimnya ahli fizik akan membincangkan geometri bersifat selanjar seperti permukaan sfera. Sifat keselanjaran di sini adalah suatu sifat tambahan. Wujud geometri yang lebih ganjil seperti 'geometri sikat' yang muncul daripada penambahan garis tegak kepada titik-titik tertentu pada garis ufuk yang mana konsep dimensi sendiri menjadi masalah bagi objek sikat ini.

Jika garis tegak ditambah pada setiap titik garis mengufuk, maka kita perolehi objek dua dimensi (satah) daripada objek satu dimensi (garis). Seterusnya, jika ditambah dengan satah pada setiap titik garisan, maka kita peroleh objek tiga dimensi (kotak).


Proses membentuk objek berdimensi tinggi sebegini penting dalam membentuk apa yang kini dipanggil sebagai kompleks-CW - boleh kita analogikan dengan kompleks pasaraya dibina dengan kedai-kedai yang lebih kecil di dalamnya.

Berbalik kepada aspek pengiraan genus permukaan dan pengitlakannya kepada dimensi tinggi (perlu imaginasi secara abstrak), dapat diungkapkan dengan menggunakan bilangan belitan (winding numbers) seperti dalam gambarajah di bawah.


Lengkung 0 (hitam) dikatakan mempunyai bilangan belitan sifar kerana lengkung ini dapat dicangga menjadi satu titik dan tidak menggambarkan adanya lubang pada donat ini. Manakala lengkung 1 (merah) dan 2 (biru) tidak dapat dicangga ke satu titik kerana kehadiran lubang dalam donut dan dikatakan mempunyai bilangan belitan satu. Malah lengkung 1 tidak dapat dicangga kepada lengkung 2 dan dianggap belitan yang berbeza. Bagi gambarajah kanan pula adalah lengkung bilangan belitan 2 tetapi mempunyai orientasi berbeza; satu kita kata sebagai bilangan belitan +2, manakala yang lagi satu adalah bilangan belitan -2. Penting di sini adalah idea belitan ini dapat diunkapkan dengan suatu integer (termasuk yang negatif).

Terdapat dua jenis konsep yang terlibat dalam gambarajah di atas. Pertama, konsep canggaan lengkung menjadi asas (dan pengitlakannya) kepada teori homotopi. Kedua, lengkung 1 dan 2 menggambarkan dua jenis rendaman subruang (subspace immersion) satu dimensi bagi donat ini dan ini berkait dengan teori homologi berkaitan subruang yang ada pada permukaan donat (juga dianggap sebagai subruang dua dimensi/subset bagi objek donat). Kedua-dua teori ini menjadi perkakasan atau kaedah pencirian dalam topologi yang berbeza. Teori homotopi mempunyai kelebihan aspek intuitif, namun kepelbagaian jenis canggaan yang mungkin, menyebabkan ia lebih sukar untuk dikaji. Teori homologi pula mempunyai kebolehan pengiraan yang lebih baik dan dianggap lebih mudah berbanding homotopi (lihat perbincangan di bawah).

Pengiraan melibatkan homologi juga dapat diungkapkan dalam kamiran. Sebagai contoh, bilangan belitan n dapat diungkap seperti berikut:

Perhatikan di sini, tiada apa-apa kekangan untuk mengambil nilai n yang bukan integer. Malah secara umum, kita ada teori kamiran yang menyatakan
yang mana hanya memerlukan kekangan dimensi subruang C adalah sama pangkat dengan bebentuk pembeza (differential form). Di sini C adalah suatu objek homologi manakala d𝜔 adalah pasangan objek dalam teori kohomologi (ruang dual kepada homologi). Objek bebentuk pembeza ini sememangnya mengandaikan keselanjaran dalam kuantiti 𝜔 yang mengambil nilai dalam nombor nyata.

Secara teknikal, peralihan daripada bilangan belitan yang bersifat integer ke nilai kamiran yang bersifat nombor nyata menunjukkan apa yang diperlukan adalah sifat abstrak bagi nombor iaitu suatu kumpulan objek yang mematuhi x + y = y + x (secara teknikal dipanggil kumpulan Abelan). Selain daripada itu, konsep pangkat bagi bebentuk pembeza membentuk suatu aljabar bergred (graded algebra). Sifat ini turut dipatuhi oleh nombor pecahan (nombor nisbah). Dari perbincangan nombor belitan di atas, kita tahu pula ada pertalian antara teori homotopi dan teori homologi. Di sinilah Dennis Sullivan mengagahkan idea beliau untuk membentuk suatu teori homotopi pecahan (rational homotopy theory) dengan mencari pertalian suatu aljabar bergred bagi suatu ruang X yang dipanggil ruang Sullivan manakala ruang aljabar bergred disebut sebagai modelnya.

Rujukan:
  • D. Sullivan, "Infinitesimal Computations in Topology", Publ. IHES 47 (1977) 261-331.
  • D. Sullivan, "Geometric Topology: Localization, Periodicity, and Galois Symmetry", (MIT Notes, 1970).
  • Y. Felix & S. Halperin, "Rational Homotopy Theory via Sullivan Models: A Survey", Notices of the ICCM 5 (2017) 14-36.
  • K. Hess, "A History of Rational Homotopy Theory" in History of Topology, (peny.) I. James, (Elsevier, 1999) 757-796.
  • P.A. Griffiths & J.W. Morgan, Rational Homotopy Theory and Differential Forms, (Birkhauser, 1977).
  • N. Hungerbuhler & M. Wasem, "Non-Integer Valued Winding Numbers and a Generalized Residue Theorem", Hindawi J. Maths. 2019 (2019) 6130464.


No comments:

Post a Comment