Bagaimana Hendak Mengajar Mekanik Kuantum?

Dalam mana-mana projek pengajaran atau penulisan mekanik kuantum, apakah pendekatan yang terbaik menjadi soalan yang perlu dijawab. Antara laungan yang lazim kita dengar adalah kita perlu ubah cara kita mengajar mekanik kuantum, khususnya apabila dipertimbangkan perkembangan maklumat kuantum (quantum information) dan pengkomputeran kuantum (quantum computing) terkini. 

Lazimnya pendekatan bersejarah menjadi mangsa dalam usaha pembaharuan cara pengajaran mekanik kuantum. Pembuangan aspek sejarah akan hilangkan dikotomi klasik-kuantum yang agak penting dalam menunjukkan betapa perlunya jenis hukum fizik baharu berlainan daripada apa yang ada pada fizik klasik. Secara peribadi, dikotomi ini perlu diperkenalkan kepada pelajar walaupun secara ringkas. Oleh yang demikian, pengenalan ringkas sejarah teori kuantum sebaiknya perlu ada dalam pengajaran/penulisan mekanik kuantum.

Bagaimana pendekatan seterusnya? Ada dua formalisme major mekanik kuantum yang boleh dipilih: (i) formalisme aljabar; (ii) formalisme fungsi gelombang.

Formalisme aljabar, dari satu segi, lebih dekat dengan perkembangan terkini tentang pengkomputeran kuantum. Khususnya, penggunaan qubit (atau kubit? - lihat perbincangan di sini; perlukah konsistensi/ketaatasaan) sebagai realisasi paling mudah sistem kuantum iaitu sistem kuantum dua paras. Kelebihan pendekatan ini ialah memudahkan pengenalan teori kuantum terus kepada pelajar berlatarbelakang matematik pra-universiti. Lazimnya matriks 2×2 sudah diperkenalkan dalam matematik pada peringkat pra-universiti. Pengitlakkan kepada matriks tertib lebih tinggi boleh diperkenal seterusnya. Boleh juga ditonjolkan di sini sememangnya dari urutan sejarah mekanik matriks Heisenberg muncul terlebih dahulu sebagai formalisme mekanik kuantum (berbanding dengan mekanik gelombang Schroedinger). Namun, perlu diingatkan mekanik matriks Heisenberg melibatkan matriks ketakterhinggaan yang sudah tentu sukar untuk dibayangkan oleh pelajar peringkat awal - mengapa perlu tertib ketakterhinggaan? Selain itu, aspek pengasingan konsep keadaan kuantum (quantum state) dengan konsep pembolehcerap (observables) sukar dijustifikasi tanpa pengenalan yang lebih lanjut. Mekanik matriks Heisenberg menekan lebih aspek pembolehcerap berbanding dengan keadaan kuantum dan beralih dari pembolehcerap ke keadaan kuantum adalah lebih sukar atau abstrak untuk dijelaskan. Dengan itu, pendekatan ini menyulitkan bagi pelajar yang sudah biasa dengan konsep keadaan sebagai maklumat optimum bagi memerihalkan keadaan fizik sesuatu sistem (analogi konsep keadaan dalam gas ideal).

Satu lagi kekurangan pendekatan aljabar ini ialah menjelaskan aspek kebarangkalian teori kebarangkalian atau lebih tepat lagi amplitud kebarangkalian. Kekurangan ini dapat diatasi dengan memberi pengenalan kepada nilaian unit jumlah kuasa dua kosinus arah (bertepatan dengan nilaian unit jumlah kebarangkalian). Konsep tersebut seharusnya diajar dalam geometri tetapi masalahnya geometri kurang diajar secara mendalam pada peringkat pra-universiti atau awal pengajian sarjana muda. Secara keseluruhan, kelebihan penting pendekatan aljabar teori kuantum ini lebih kepada aspek pengiraannya yang lebih mudah dibuat, tanpa perlu kepada kalkulus. Kelebihan ini, dari satu segi, mengatasi aspek abstrak formalisme aljabar mekanik kuantum dan memindahkan kemahiran pengiraan merupakan aspek utama dalam pengajaran teori kuantum.

Formalisme fungsi gelombang sedikit sebanyak dapat membantu intuisi pelajar terhadap memahami teori kuantum. Contohnya, jika kita ambil kedualan zarah-gelombang deBroglie sebagai sifat semesta (universal), banyak sifat kualitatif sistem mikroskopik dapat kita jelaskan, seperti aspek penyetempatan (localization) dan pentaksetempatan (delocalization) dalam jirim terkondensasi. Dari sudut asas teori kuantum (quantum foundations), memang banyak masalah yang akan muncul dengan kedualan gelombang dalam aspek penafsiran tero kuantum. Kini, sudah ada gerakan yang cuba bangunkan semula teori kuantum dengan menidakkan aspek gelombang. Walau pun menarik, saya berpendapat agak terlalu awal dalam menidakkan sifat gelombang dalam teori kuantum. Tersirat dalam sifat gelombang ini adalah prinsip ketakpastian Heisenberg, penggunaan nombor kompleks dan konsep rambatan dalam ruang-masa (lebih baik, pengaburan ruang fasa) yang masih bersifat abstrak/ghaib. Apakah ini memberi petunjuk kepada suatu yang lebih asas, tidak dapat kita 'jawab' dengan teori yang kita ada setakat ini. Yang pasti, aspek gelombang ini membolehkan kita memahami bagaimana spektra pembolehcerap, samada diskrit atau selanjar ataupun jalur, muncul dalam pengukuran. Dalam ertikata lain, aspek spektra-lah (secara tak langsung sifat gelombang) yang membolehkan pengcirian jirim dengan pelbagai spektroskopi, suatu aplikasi penting teori kuantum. Selain daripada aspek spektrum, formalisme mekanik gelombang ini dapat juga membangunkan intuisi orbital yang sangat diperlukan dalam membincang aspek kimia sistem kuantum. Secara keseluruhan, formalisme boleh membangunkan intuisi bagaimana fizik kuantum beroperasi.

Antara kekurangan pendekatan fungsi gelombang pula adalah penglibatan kalkulus yang agak tinggi dan juga pengiraan yang lebih rumit berbanding dengan pendekatan aljabar. Suatu masalah muncul apabila kita ingin memuatkan subjek mekanik kuantum dalam kurikulum sarjana muda. Menyelesaikan persamaan Schroedinger sepenuhnya dalam formalisme mekanik gelombang memerlukan kemahiran menyelesaikan persamaan pembezaan yang lazim diajar hanya selepas melalui kursus kalkulus awal dan lanjutan. Bukan sekadar itu, pengetahuan fungsi-fungsi khas juga diperlukan bagi menyelesaikan persamaan Schroedinger bagi sistem kuantum yang lebih realistik, melangkaui sistem keupayaan datar cebis demi cebis (piecewise flat potentials). Aspek-aspek ini boleh menyukarkan pembelajaran mekanik kuantum.

Setelah membincangkan kelebihan dan kekurangan dua formalisme mekanik kuantum ini, kita boleh simpulkan yang berikut:

• Jika ingin membangunkan kemahiran pengiraan lebih awal, pilihlah formalisme aljabar mekanik kuantum sebagai pendekatan pertama.
• Jika ingin membangunkan intuisi fizik kuantum terlebih dahulu, pilihlah formalisme mekanik gelombang sebagai pendekatan pertama.

Dalam pengajaran mekanik kuantum yang telah saya berikan sebelum ini adalah mendahulukan mekanik gelombang. Apakah dengan perkembangan maklumat kuantum dan pengkomputeran kuantum, pendekatan ini perlu diubah? Ini bergantung sangat kepada bagaimana kurikulum fizik dibangunkan dan apa kepentingan yang ingin ditonjolkan. Pada hemat saya, jika mekanik kuantum dapat diasingkan daripada maklumat kuantum, itu lebih baik dan pendekatan aljabar boleh dibuat terus bagi kursus maklumat kuantum.

Ada juga rakan-rakan yang menyarankan aspek baharu seperti keterbelitan (entanglement) dan kekontekstualan (contextuality). (Catatan: Setakat ini tiada istilah contextuality dalam bahasa Melayu, tetapi context dipinjam secara terus sebagai konteks.) Kedua-dua konsep ni memerlukan sistem komposit kuantum yng lazim diperkenalkan pada penghujung kursus mekanik kuantum awal atau kursus mekanik kuantum lanjutan. Memperkenalkan konsep-konsep ini pada peringkat awal mungkin agak rumit dan memerlukan pembangunan teliti topik-topik yang ada. Sebagai contoh, sistem komposit perlu guna hasildarab tensor dan ciri matematik ini boleh dibangunkan sewaktu pengenalan sistem tiga dimensi atau kes pembolehcerap serasi yang tak bersandar linear. Jelas sekali bahawa kedua-dua ini berkehendakkan teori kuantum yang lebih asas dibangunkan terlebih dahulu. Cara lain adalah dengan memuatkan konsep-konsep ini dalam kursus berlainan seperti maklumat kuantum ataupun kursus baru seperti Asas dan Falsafah Kuantum (Quantum Foundations and Philosophy).

Apa yang pasti, pengajaran mekanik kuantum memerlukan pemikiran yang lebih teliti di samping mengikuti perkembangan terkini sains dan teknologi kuantum.

PS: Sebarang maklumbalas tentang perkara di atas, sangatlah dihargai.

Kuantum atau Quantum

Apabila saya kembali ke tanah air dan diminta mengajar teori kuantum (pengkhususan saya), banyak yang saya perlu terjemahkan istilah dalam teori tersebut. Ketika itu, saya bergantung hampir sepenuhnya kepada Istilah Dewan Bahasa dan Pustaka. Sekiranya tiada istilah yang saya rasa sesuai, saya akan rujuk kepada buku istilah yang diterbitkan oleh Penerbit UKM. Memang ada juga istilah yang saya rasa kurang sesuai apabila kita fahami konteks atau teori yang terlibat tapi lazimnya saya akan ketepi persoalan ini seboleh mungkin.

Dalam sedekad kebelakangan ini, terfikir juga saya untuk menukarkan istilah kuantum kepada quantum. Bukan kerana istilah ini lebih dekat dengan perkataan Inggerisnya, tetapi kerana ingin mengayakan bahasa Melayu dengan lebih banyak perkataan menggunakan huruf 'q' dan tidak lebih dari itu. Terfikir juga bahawa dalam bahasa Arab ia lebih dekat dengan penggunaan huruf 'qaf' (ق). Rasanya kebanyakan perkataan yang bermula dengan qaf turut ditukarkan kepada huruf 'k' kecuali beberapa perkataan.

Bagaimanakah perkataan quantum diterjemahkan dalam bahasa Arab? Menurut laman web ini, ia diterjemah sebagai نَظَريّة الكَمِّ dengan كَمّ sebagai istilah kuantum, iaitu menggunakan huruf kaf (ك). Dengan itu, berdasarkan huruf, mungkin lebih baik istilah 'kuantum' sahaja.

Terkubur sementara hasrat menggunakan istilah 'quantum'.
Apakah pandangan pembaca atau lebih baik lagi pakar bahasa?

Reduksionisme dan Kemunculan

Pernah kita terdengar dalam perbincangan santai bahawa biologi adalah kimia gunaan, kimia pula adalah fizik gunaan dan mungkin ada pula yang akan menyambung fizik adalah matematik gunaan. Lebih ganjil dan mungkin menjengkelkan ialah sains sosial adalah biologi gunaan. Ini menurunkan aspek manusiawi kepada perihalan gumpalan sel manusia. Sudah tentu contoh akhir ini berlawanan apa yang kita rasai sebagai makhluk yang mempunyai daya fikir dan tindakan, merubah alam persekitaran dengan begitu hebat sekali berbanding dengan makhluk lain. 

Jalur pemikiran dalam perkara di atas mengambil sains suatu peringkat supaya dapat diungkapkan dalam sains yang lebih asas (atau sains perihalan objek yang lebih asas mengikut hierarki objek fizikal). Jalur pemikiran ini dilabel sebagai reduktionisme (reductionism). 'Berlawanan' dengan reduktionisme adalah aspek kemunculan (emergence) yang turut dibincang dalam fizik. Dengan kemunculanlah, ciri-ciri tambahan dikatakan muncul pada sistem fizik bersifat majmuk atau sebatian (compound). Sebagai satu contoh masalah reduktionisme-kemunculah adalah ketakberbalikan masa (time irreversbility). Persamaan gerakan (mekanik) yang ada dalam fizik, hampir kesemuanya bersifat bersimetri masa (time symmetric) iaitu jika parameter masa t diganti dengan − t (t negatif), akan tetap sah persamaan gerakannya. Dengan itu, hukum fizik tetap sama atau berlaku jika dibalikkan arah masa. Maka persoalannya bagaimana pengalaman harian kita menunjukkan masa hanya  dalam arah masa depan sahaja. Dua tempat di mana hukum asas fizik tidak bersimetri masa ialah

• Hukum termodinamik kedua (entropi sentiasa meningkat dalam sistem tertutup). Catatan: Hukum ini bukanlah bentuk persamaan gerakan dan lebih bersifat empirik.
• Perlanggaran simetri CP (gabungan simetri pariti atau songsangan ruang dengan konjugasi cas) dalam teori medan kuantum. Dalam teori ini, gabungan CPT dengan simetri songsangan masa T akan berlaku atau sah bagi smeua proses. Maka perlanggaran simetri CP akan membawa implikasi simetri T juga akan turut dilanggar. Catatan: Darjah perlanggaran simetri CP dianggap sangat kecil.

Walaupun adanya kedua-dua perkara di atas, ketakberbalikan masa masih dianggap tidak selesai kerana kedua0dua fenomena ini tidak dapat dimuatkan secara terus dalam pengalaman seharian kita (rantaian kebesebaban tidak jelas).

Berbalik kepada masalah reduktionisme-kemunculan yang disebut pada awal hantaran, perlunya takrifan yang lebih jelas mengungkapkan bagaimana proses reduktionisme dan proses kemunculan berlaku. Untuk itu, menarik kita bawa perhatian kepada buku karangan Sergio Chibbaro, Lamberto Rondoni dan Angelo Vulpiano yang bertajuk Reductionism, Emergence and Levels of Reality - The Importance of Being Borderline.

Buku ini mempunyai tujuh bab seperti tersenarai di bawah:

• A Galilean Dialogue on the Levels of Reality
• A Random Journey from Monism to the (Dream of) Unity of Science
• A First Attempt to Tame Complexity: Statistical Mechanics
• From Microscopic Reversibility to Macroscopic Irreversibility
• Determinism, Chaos and Reductionism
• Quantum Mechanics, its Classical Limit and its Relation to Chemistry
• Some Conclusions and Random Thoughts

Buku ini turut dihiasi dengan prakata oleh Sir Michael Berry yang menyatakan lazimnya ahli falsafah akan membincangkan apa yang dibawa oleh ahli fizik tetapi buku ini menunjukkan sebaliknya, bahawa ahli fizik boleh mendatangkan idea falsafah bagi perkembangan ilmiah seterusnya. Perlu ditekankan di sini skop perbincangan buku ini dihadkan kepada fizik dan kimia yang lebih diketahui asasnya.

Perbincangan reduktionisme bertitik tolak dengan andaian wujudnya juzuk binaan asas, lazimnya dipanggil atom (dalam pelbagai jelmaannya setiap zaman). Teori peringkat juzuk binaan ini membentuk sains peringkat rendah (lower level science) dan apabila juzuk binaan ini dihimpun dengan lebih banyak, perihalan peringkat ini membentuk sains peringkat tinggi (higher level science). Menghubungkan kedua-dua peringkat sains ini semestinya ada prinsip titian (bridge principles) yang mengaitkan pembolehubah yang digua pada setiap peringkat sainsnya. Secara ringkas, skema reduktionisme dapat dihuraikan mengikut item-item di bawah:

• Hukum peringkat rendah (Low level laws)
• Prinsip titian
• Syarat sempadan dan pemodelan
• Hukum peringkat tinggi (High level laws)

Yang selalu menjadi persoalan di sini adalah item kedua dan ketiga dan perkara ini berubah mengikut sistem fizik yang dibincangkan. Contoh lazim yang dipakai adalah hubungan antara mekanik statistik dengan termodinamik. Bagi mekanik statistik, parameter penting adalah bilangan zarah N (atom atau molekul), manakala bagi termodinamik, parameter yang boleh diambil adalah isipadu V. Hubungan titian yang diambil adalah seperti berikut:

N → ∞   dengan   N/V = pemalar .

Contoh lain yang lazim adalah dari zarah bendalir ke mekanik bendalir. Di sini juga ada aspek had yang diambil berdasarkan dimensi sel bendalir yang diambil. Pengambilan had merupakan suatu hubungan titian yang penting dan ini membuka ruang kepada kemungkinan had yang singular yang dapat membentuk struktur seperti yang dikehendaki oleh aspek kemunculan. Had yang singular jugalah yang berupaya memperihal peralihan fasa (phase transition) dalam mekanik statistik.

Seterusnya apakah dia kemunculan? Bagaimana kita dapat mencirikan fenomena kemunculan? Di sini, ahli falsafah membezakan fenomena yang boleh diungkapkan terus melalui pembolehubah gabungan (collective variables) menerusi gabungan pembolehubah asas dengan fenomena yang benar-benar bersifat novel yang boleh muncul. Bagi yang pertama, teori peringkat tinggi boleh diungkapkan secara terus dengan teori peringkat rendah tanpa keperluan penambahan struktur baharu. Kemunculan ini dinamakan sebagai mengambilalih (supervene); di sini mengambil analogi istilah intervene sebagai mengantara. Dengan itu, kita hadkan kemunculan kepada fenomena yang benar-benar mempunyai aspek baharu yang tiada dalam teori peringkat rendah.

Dalam bab 3, kes termodinamik terturun ke mekanik statistik diperincikan dengan mengangkat teori Ludwig Boltzmann yang menjuarai teori atom. Boltzmann menggunakan dua unsur bagi prinsip titian:

• hipotesis ergodik yang mengaitkan purata masa (penting dalam aspek pengukuran - juga perkara yang dianggap penting oleh pengarang) dengan purata ruang fasa (ruang yang memerihal keadaan mekanik)
• rumus entropi Boltzmann S = k log W ; S merupakan pembolehubah makroskopik manakala maklumat mikroskopik terdapat dalam W (mikrokeadaan) dan k pula adalah pemalar Boltzmann.

Teori ini menunjukkan bagaimana konfigurasi W (dengan bilangan konfigurasi/mikrokeadaan (microstates) yang besar) akan berubah mengikut tren yang mengekstremumkan entropi S. Had yang diambil dikenali sebagai had termodinamik. Pelbagai fenomena dapat dijana dengan formalisme mekanik statistik ini termasuklah peralihan fasa bahan menurut pemodelan tertentu. Turut berlaku di sini adalah kemuncuan aspek ketakberbalikan akibat bilangan besar darjah kebebasan/mikrokeadaan sistem. Sedikit permasalahan timbul apabila teori Boltzmann ini bertembung dengan teori perulangan Poincare (Poincare recurrence theory). Masalah ini dapat diatasi dengan menunjukkan masa keberulangan ini tersangat lama atas sebab yang sama iatu bilangan mikrokeadaan yang sangat besar bagi objek makroskopik. Dengan itu, secara praktis, keberulangan bagi objek makroskopik tidak akan berlaku.

Sehubungan dengan teori Poincare, wujud permasalahan lain yang mula disedari secara eksplisit pada sekitar tahun 60-70an. Suatu sistem deterministik tidak semestinya mempunyai sifat kebolehramalan (predictability) dan ketika itu terbitlah suatu teori huru-hara/kacau-bilau (chaos). Catatan: Istilah asal ini diambil dari DBP dan Etisas UKM, namun penulis mendapati istilah kekalutan lebih sesuai digunakan (terima kasih kepada komen di FB). Ini menyukarkan lagi pemberian ciri bagi sistem fizik kerana sifat ketidakbolehramalan ini menghumban semula kerawakan (randomness) dalam sifat sekata (regular) bagi sistem deterministik. Pengajaran besar yang dibawa oleh episod ini suatu sistem yang kompleks tidak semestinya boleh dihuraikan sebagai gabungan sistem yang mudah. Ini membawa implikasi yang besar terhadap sistem makroskopik yang lazim difikirkan sebagai sistem berbilang jasad yang digabung secara mudah. Dalam perspektif ini, kelihatan kemunculan yang bersifat pengambilalihan (supervenience) boleh sahaja kita tolak tepi dan kemunculan yang ada lazimnya bersifat tulen (genuine) dengan kebergantungan kepada bagaimana kebolehramalan gagal dalam sistem deterministik.

Tahap kerumitan terakhir adalah apa yang disaji pada awal kurun ke-20 iaitu munculnya teori quantum. Teori quantum mengambil kerawakan sebagai suatu yang intrinsik kepada sistem fizik mikroskopik. Mungkin pada peringkat ini, ada pembaca yang terfikir mungkinkah kerawakan sistem quantum wujud selari dengan ketakbolehramaln seperti yang disebut di atas. Ada sahaja ahli fizik yang berpendapat sebegitu seperti Einstein (yang mempercayai teori quantum tidak lengkap) atau 't Hooft, pemenang Hadiah Nobel Fizik yang talah menyarankan formulasi semula sistem quantum yang mempunyai persamaan deterministik atau lebih dekat lagi dengan teori huru-hara/kelam-kabut adalah seperti teori Tim Palmer bersama Sabine Hosselfelder. Namun, di sini diteruskan dengan teori quantum sperti yang dipelajari ramai. Bagaimanakah teori quantum mengendali sistem berbilang jasad seperti objek makroskopik? Benarkah kimia hanya teori quantum gunaan seperti yang lazim dilaungkan? Di sinilah buku di atas mengatakan tidak. Apabila ahli fizik ingin menggunakan fizik quantum untuk memerihal sistem yang lebih kompleks, kita akan dapati aspek tambahan dibawa menyusup masuk ke dalam teori quantum seperti penghampiran semiklasik, penghampiran Born-Oppenheimer, fungsian ketumpatan (density functional), petua Hund dan sebagainya, masing-masing bukanlah suatu yang berasal dari asas quantum sendiri tapi terbentuk melalui intuisi ahli fizik. Maka, apakah kita perlu hairan dengan aspek munculan ini timbul dalam perihalan quantum sistem yang kompleks? Jika kita perhati perkembangan teori jirim terkondensasi (condensed matter), banyak aspek permodelan dilakukan dengan intuisi ahli fizik.

Di sini diulangi beberapa perkara penting yang boleh kita pelajari sebagai tempat di mana kemunculan akan menyerap masuk dalam fizik:

• Hukum Boltzmann dan kebergantungannya kepada aspek pengukuran.
• Pengambilan had yang mengaitkan sistem mikroskopik dengan sistem makroskopik serta aspek singularnya
• Sistem kompleks dan aspek kebolehramalan
• Pemodelan sistem fizik termasuk kes sistem quantum

Gambar di bawah adalah penulis bersama salah seorang pengarang buku di atas, Lamberto Rondoni ketika beliau melawat Institut Penyelidikan Matematik di UPM.

Rujukan:

• Sergio Chibbaro, Lamberto Rondoni & Angelo Vulpiani, Reductionism, Emergence and Levels of Reality, (Springer, 2014)
• A.L. Kuzemsky, "Thermodynamic Limit in Statistical Physics", Int. J. Mod. Phys. B 28 (2014) 1430004
• G.  't Hooft, The Cellular Automaton Interpretation of Quantum Mechanics, (Springer, 2016) dan kertas kerja beliau berkaitan
• S. Hossenfelder & T. Palmer, "Rethinking Superdeterminism", Frontiers in Physics 8 (2020) 253
• S.M. Girvin & Kun Yang, Modern Condensed Matter Physics (Cambridge University Press, 2019)

Tolok: Mencari Istilah Yang Lebih Baik?

Barangkali ramai kenal saya melalui penulisan dalam bahasa Inggeris termasuk dalam media sosial. Apabila diceritakan saya pernah mengajar mekanik quantum dalam bahasa Melayu, ada yang hairan. Tidak perlu hairan kerana pengajaran sedemikian adalah keperluan pada masa itu, dan apabila ada keperluan untuk mengajar dalam bahasa Inggeris, saya mengajar pula dalam bahasa Inggeris. Namun ini bukan bermaksud saya tidak mengambil berat tentang bahasa Melayu. Menjadikan bahasa Melayu sebagai satu bahasa ilmiah merupakan satu perkara mulia yang perlu kita usahakan.

Sebagai rekod, saya rakam kemarahan saya di sini apabila ada yang memperolok-olokkan penggunaan bahasa Melayu tanpa menyedari persendaan yang dibuat turut ada dalam bahasa Inggeris. Antaranya ialah sifat lucah dalam terjemahan satu perenggan perbincangan sains komputer (rujuk di sini), tapi jika disemak kembali perenggan asal bahasa Inggeris, unsur lucah juga boleh sahaja dibuat di situ. Tidak mengapalah. Yang penting adalah kita usahakan bahasa Melayu sebagai bahasa ilmiah dan jika boleh, penggunaan istilah yang lebih tepat daripada penggunaan bahasa Inggerisnya.

Satu istilah yang saya pernah bangkitkan suatu masa dulu ialah teori tolok sebagai terjemahan 'gauge theories'. Pertama, tolok adalah suatu istilah yang bukan diguna secara lazim (kecuali dalam frasa 'tiada tolok bandingan') dan saya sendiri terpaksa menyemak kamus untuk mengetahui maksud sebenar. Bagi yang pernah mengkaji 'gauge theory' memahami bahawa ia merujuk kepada darjah kebebasan dalaman pada medan terlibat dan bukanlah seperti bandingan/rujukan dalam pengukuran air dalam tolok hujan.

Penggunaan 'gauge' sendiri di kalangan ahli fizik sendiri ada diperdebatkan. Yang pasti, kebebasan yang ada pada satu-satu 'gauge' berkait rapat dengan simetri fasa dalam memerihalkan medan yang bersandar kepada ruang-masa (boleh rujuk makalah Schwichtenberg). Mengapa tidak gunakan istilah teori fasa atau teori simetri fasa yang lebih dekat dengan maksud fiziknya. Malangnya fasa turut diguna sebagai istilah dalam memerihal peralihan fasa (phase transition) bagi keadaan jirim. Penggunaan fasa seperti dalam 'gauge theory' lebih kepada aspek kebebasan pilihan fungsi matematik tetapi mempunyai kaitan rapat dengan aspek fizikal medan fizik terlibat. Jadi di sini, wujudnya peluang mencari istilah yang lebih tepat atau mungkin sahaja kita berpuas hati dengan perluasan istilah 'tolok' kepada aspek matematik/fizik yang dibincangkan di atas.

Di Sebalik Keterbelitan

Baru-baru ini, Hadiah Nobel Fizik tahun 2022 telah dianugerahkan kepada tiga individu yang telah menjalankan eksperimen untuk menguji aspek keterbelitan (entanglement) (Catatan: Istilah lain yang ada digunakan ialah kebergusutan). Makalah semi-popular ini cuba menjelaskan keterbelitan kuantum (sering dianggap bermisteri dengan ungkapan spooky action a distance) melalui konsep-konsep struktur matematik dan tafsiran lazim teori quantum dan seterusnya membincang bagaimana fenomena keterbelitan ini adalah suatu yang biasa kita jumpai dalam teori quantum tanpa disedari.

Sejarah EPR

Kita mulakan dengan sedikit sejarah perbincangan keterbelitan quantum. Kisah ini bermula dengan makalah Einstein, Podolsky & Rosen mengenai ketegangan antara sifat yang tentu dengan sifat kebarangkalian (taktentuisme) dalam teori quantum, yang menyebabkan Einstein dan rakan menganggap teori quantum bukanlah suatu teori yang muktamad. Berdasarkan hukum keabadian momentum bagi sistem gabungan A dan B, Einstein, Podolsky dan Rosen (EPR) berpendapat bahwa dengan manipulasi maklumat sistem A, maklumat mengenai sistem B dapat diperolehi walaupun tiada apa operasi dilakukan ke atas sistem B (yang dianggap mustahil). Maklumat sedemikian adalah ciri-ciri yang diketahui tidak boleh berlaku serentak seperti pasangan pembolehcerap konjugat yang tidak serasi seperti kedudukan dan momentum yang berkait rapat dengan prinsip ketakpastian Heisenberg. Dengan itu, Einstein dan rakan-rakan membuat kesimpulan bahawa teori quantum tidak lengkap kerana kejayaan mereka membangunkan sistem gabungan yang boleh memberi maklumat tepat pembolecerap tidak serasi, tidak seperti dijangka oleh mekanik quantum. Pendapat sedemikian sudah tentu berlawanan dengan pendapat majoriti pendokong teori quantum. Di sini, Bohr memberi respon balas kepada Einstein dan rakan dalam suatu makalah di jurnal yang sama berkisar sekitar umpukan realiti kepada pasangan pembolehubah berkonjugat. Perhatikan bahawa kedua-dua pihak EPR dan Bohr menggunakan aspek pembolehcerap tidak serasi yang sama untuk sampai kepada dua kesimpulan berbeza. Begitulah jenis kerumitan yang ada pada masalah-masalah asas teori kuantum yang bergantung kepada andaian-andaian yang tersirat. Dalam kes EPR ini, andaian yang tersirat ini adalah aspek keberasingan (separability) yang diperuntukkan ke atas sistem A dan sistem B, walaupun asalnya sistem yang dipertimbangkan adalah sistem gabungan A dan B. 

Mendapatkan maklumat mengenai sistem A dan B secara berasingan bukanlah suatu yang mustahil secara quantum, tetapi ini memerlukan suatu prosedur tambahan iaitu mengambil purata pembolehubah yang berkaitan satu sistem (misalnya B) untuk mendapatkan maklumat pembolehubah sistem lagi satu (misalnya A). Prosedur begini lazimnya dipanggil prosedur surih separa (partial trace). Bagi masalah EPR asal, prosedur ini agak rumit kerana melibatkan pembolehubah selanjar kedudukan dan momentum. Namun, analisis keterbelitan masalah asal EPR telah dibuat oleh Cohen, 62 tahun kemudian, bagi menunjukkan aspek tak bersetempat masalah tersebut. Analisis masalah EPR yang kita lazim dengar adalah sebenarnya formulasi semula masalah EPR dengan pembolehubah tak serasi komponen momentum sudut spin oleh Bohm. Kelebihannya di sini adalah nilai momentum sudut spin adalah diskrit dan pembolehcerap boleh diwakili dengan matriks dan operasi tambahan surih separa dapat dilakukan dengan mudah. Seperti masalah EPR asal, Ramuannya masih sama, sistem gabungan A dan B dengan hukum keabadian momentum sudut spin (seterusnya kita ringkaskan sebagai spin sahaja) sebagai sifat yang tentu, dan maklumat spin bagi sistem individu A dan B. Keabadian jumlah spin memberi korelasi spin yang diperlukan antara sistem A dan sistem B. Walau bagaimana pun, pada takat ini, tiada analisis yang dapat membezakan korelasi sempurna dalam teori quantum dengan korelasi sempurna lazim.

Kedengaran Bell Menyanggah Von Neumann (dan Tidak Lupa Hermann)

Perlu dinyatakan bahawa korelasi sempurna spin dalam masalah EPR di atas adalah antara komponen yang sama bagi kedua-dua A dan B. Namun sebagai momentum sudut, (komponen) spin dapat diberi sebarangan arah dalam tiga dimensi. Ini merupakan ramuan pertama yang diperlukan, bahawa arah yang dipilih bagi sistem individu A dan B boleh sahaja arah yang berbeza, sesuai dengan konsep keberasingan yang ditonjolkan dalam EPR. Kedua, dalam mengatakan teori quantum itu tidak lengkap, perlu ada teori atau model yang mewakili fizik bukan quantum sebagai bandingan. John S. Bell, asalnya seorang ahli fizik nuklear dan teori medan quantum, telah memilih satu kelas teori yang dipanggil teori pembolehubah terselindung/tersembunyi (hidden variable theories - HV), Teori HV pada mulanya tidak dipandang serong oleh majoriti ahli fizik kerana wujudnya pembuktian sarjana besar John von Neumann yang menidakkan sebarangan teori HV dalam memerihal keputusan mekanik quantum. Bell mengkritik pembuktian von Neumann yang terbit dalam bukunya Mathematical Foundations of Quantum Theory tentang nilai jangkaan hasiltambah sebarang pembolehcerap walau pembolehcerap yang dihasiltambah adalah tak serasi. Malah, Bell bukanlah yang pertama mengkritik von Neumann sedemikian; tiga puluh satu tahun sebelumnya, Grete Hermann membuat kritikan yang lebih kurang sama (lihat buku suntingan Crull & Bacciagaluppi), tetapi tidak mendapat perhatian sebelum ini. Terdapat perbincangan balas antara penyokong von Neumann dan penyokong Bell & Hermann, namun ini tidaklah menjadi tumpuan kita di sini; yang berminat boleh rujuk makalah Mermin & Schack.

Ramuan teori HV tersebut di atas penting untuk membina suatu teori bak mekanik statistik yang memuatkan aspek kebarangkalian dengan harapan menyamai apa yang diramal oleh mekanik kuantum. Untuk ini, Bell membayangkan pembolehubah terselindung yang bersifat setempat, yang jika diketahui akan membuat teori HV bersifat berketentuan ramalannya. Tetapi oleh kerana pembolehubah ini terselindung, maka cubaan terbaik adalah mengambil purata (kamiran) ke atas pembolehubah terselindung ini. Selain itu, sifat pembolehubah terselindung setempat ini turut membayangkan konsep keberasingan dalam masalah EPR. Menggunakan paksi spin sistem A sebagai a dan paksi spin sistem B sebagai b, korelasi ukuran spin C(a, b) yang melibatkan kamiran pembolehubah terselindung. Suatu ketaksamaan bagi kuantiti korelasi tersebut dapat dihasilkan dan ini dikenali secara masyhur sebagai ketaksamaan Bell. (Catatan ada beberapa jenis ketaksamaan Bell yang telah dihasilkan oleh beberapa saintis termasuk yang dimajukan oleh pemenang Hadiah Nobel Clauser dan rakan-rakan seperti dalam makalah ini.) Kuantiti ini boleh dibandingkan dengan korelasi yang diramal oleh teori quantum. Bagi keadaan quantum terbelit, didapati bahawa korelasi quantum melanggar ketaksamaan Bell. Oleh yang demikian, teori HV tidak boleh memperihal teori quantum sepenuhnya dan juga ia menunjukkan korelasi quantum lebih kuat daripada korelasi teori HV.

Eksperimen Menguji Ketaksamaan Bell

Reformulasi Bohm bagi masalah EPR adalah sesuai bagi sistem gabungan dua spin-1/2 yang secara individunya ada dua keadaan spin atas dan bawah. Sistem setara yang lebih mudah dimanipulasi adalah dua keadaan pengutuban foton sepertimana yang disaran oleh Clauser dan rakan-rakan. Walau bagaimanapun, menggunakan pelbagai peralatan optik dalam eksperimen turut membawa masuk kelemahan dalam pengujian yang dikehendaki. Usaha mengatasi kelemahan tersebut telah dibuat oleh Alain Aspect (pemenang Nobel) dan rakan-rakan khususnya menutup kelemahan bersetempat (locality loophole) - lihat makalah ini. Turut berlaku secara berterusan adalah usaha untuk menutup kelemahan lain atau meluaskan skop eksperimen ke sistem lain - bagi melihat perkembangan, lihat pautan ini.

Kini penjanaan keadaan quantum terbelit dan pengujian Bell (foton atau zarah selainnya) merupakan suatu perkara yang standard dan asas kepada pembangunan teknologi quantum. Antara individu yang begitu giat membangunkan eksperimen keadaan quantum terbelit adalah pemenang Hadiah Nobel, Anton Zeilinger. Beliau berjaya membuat demonstrasi pertama teleportasi quantum (menggunakan keterbelitan) dan seterusnya teleportasi quantum antara dua pulau Canary Island iaitu sejauh 143 kilometer. Lagi satu fenomena yang kumpulan beliau demonstrasikan adalah saling tukar keterbelitan antara dua pasangan foton terbelit. Kedua-dua fenomena teleportasi quantum dan saling tukar keterbelitan ini dapat dijadikan asas kepada teknologi komunikasi quantum. Zeilinger berserta rakan juga turut membuka jalan kepada keterbelitan lebih daripada dua zarah dengan menjanakan keadaan kuantum GHZ (yang membawa namanya). Banyak lagi fenomena asas quantum yang diselidiki oleh kumpulan Zeilinger; sila rujuk laman Wikipedia beliau.

Tabir Matematik dan Tafsiran

Struktur apakah yang menghasilkan fenomena keterbelitan? Pertama, apabila dua sistem yang tak bersandar antara satu sama lain, ruang Hilbert (ruang vektor keadaan quantum) kedua-dua sistem digabung dengan menggunakan hasildarab tensor (diberi tatatanda ⊗). Hasildarab tensor adalah seperti hasildarab Descartes bagi pendaraban dua set; kesemua pasangan bertertib unsur kedua-dua set akan diambilkira sebagai unsur set yang terhasil. Lebih daripada itu, hasildarab tensor turut membenarkan ciri-ciri aljabar yang ada pada ruang Hilbert sistem individu asal turut berlaku kepada ruang Hilbert gabungan. Ciri aljabar yang dimaksudkan di sini adalah hasiltambah vektor atau lebih fizikal, mematuhi prinsip superposisi. Superposisi inilah yang membuat keterbelitan sebagai suatu fenomena yang menakjubkan; tidak semua superposisi berasal daripada hasildarab dua vektor keadaan dari ruang Hilbert individu asal (dipanggil keadaan bolehpisah) dan keadaan yang baru ini adalah apa yang dipanggil keadaan terbelit. Di sini, agak menarik diperhatikan bahawa konsep gabungan dua sistem menggunakan hasildarab tensor sebelum ini dianggap bersifat semulajadi (apa yang dijangka akan berlaku). Hanya baru-baru ini, ketika sains maklumat quantum dibangunkan, aspek gabungan hasildarab tensor ini diangkat sebagai suatu aksiom dalam membangunkan teori quantum (lihat Nielsen & Chuang dan d'Ariano, Chiribella & Perinotti).

Mungkin di peringkat ini, pembaca akan bertanya apa yang dianggap ganjil tentang aspek gabungan hasildarab tensor di sini. Mendasari semua sifat misteri dalam teori quantum adalah hubungan antara aspek kebarangkalian dengan apa yang direalisasi dalam pengukuran (realiti?).  Sama seperti masalah memahami fizik di sebalik eksperimen dua celah quantum, terdapat masalah bagaimana kita hendak mengharmonikan konsep zarah (bertitik apabila dikesan) dengan konsep rambatan gelombang melalui kedua-dua celah, melainkan kita pisahkan aspek dinamik dengan aspek pengukuran dan ambil sikap 'diam dan kira sajalah' (shut up and calculate). Bagaimana pula kes keterbelitan yang kita bincang di atas? Di sini, saya ingin ambil analogi yang dibuat oleh Preskill; ia seperti membaca buku dengan 100 mukasurat tapi membaca hanya 10 mukasurat tidak memberi kita maklumat 10% (langsung tiada maklumat) daripada buku itu tetapi maklumat buku semuanya terkandung dalam korelasi antara kesemua mukasurat buku tersebut. Membingungkan? Inilah yang kita hadapi apabila cuba menganalisis masalah EPR di atas; maklumat setempat tidak tersedia begitu sahaja dengan mengetahui keadaan quantum gabungan.

Pandangan peribadi: banyak yang tersirat dalam pemisahan antara keadaan quantum dengan pembolehcerap quantum serta aspek globalnya (geometri) dan pentas ruang-masa. Ini adalah permulaan model sistem quantum dan perlunya kita mendalami aspek ini (pengkuantuman - quantization). Sebahagian aspek keterbelitan contohnya dapat kita fahami melalui struktur tensor dan geometri ruang projektif kompleks (contoh: sila lihat Choong dll dan Molladavoudi & Zainuddin). Jika ingin kurangkan kemeleretan perbincangan, ambil sahaja pandangan apa yang kita ramal/ukur hanyalah hasilan saling tindakan alat pengukur dengan sistem diukur; apa hakikat sistem sebenarnya terselindung daripada kita. Seperti apa yang Coecke lazim katakan, kita perlu beredar dari konsep sistem diperihal secara tertutup ke konsep saling tindakan antara sistem.

Membiasakan Keterbelitan Dalam Mekanik Quantum dan Fizik Terkondensasi

Beberapa tema timbul dalam membincangkan keterbelitan di atas seperti konsep tak setempat, geometri, saling tindakan dan korelasi. Sebahagian daripada ini, memang ada dibincangkan dalam fizik terkondensasi. Malah antara usaha hari ini adalah untuk membuat formulasi semula fizik terkondensasi dalam perspektif maklumat quantum (contoh: lihat Laflorencie). Perbezaan keterbelitan yang dijumpai dalam fizik terkondensasi dengan apa yang dibincang dalam masalah EPR adalah kompleksitinya lebih tinggi dalam yang pertama. Namun, tidak dapat nafikan kepentingan masalah EPR dalam membangunkan asas kejuruteraan keterbelitan dalam teknologi quantum pada masa akan datang.

Mungkin sahaja kita tidak sedar bahawa keterbelitan sudah ada dibincang dalam masalah asas mekanik quantum yang lazim kita pelajari dalam kelas. Sebagai contoh kita tahu pembolehubah kedudukan tiga dimensi (x,y,z) sendiri adalah saling tak bersandar dan serasi antara satu sama lain dan dengan itu ruang Hilbert yang dibangunkan dapat diberi melalui hasildarab tensor ruang fungsi setiap pembolehubah x,y dan z. Sebagai contoh gelombang satah exp (i k⋅ r) = exp (ikxx) ⊗ exp(ikyy) ⊗ exp (ikzz) merupakan contoh keadaan terpisah. Fungsi gelombang tiga dimensi umumnya tidaklah berbentuk hasildarab sebegini tetapi akan ada keterbelitan antara setiap pembolehubah terhasil daripada saling tindakan sistem dengan suatu keupayaan. Tidaklah keterlaluan, jika suatu hari nanti buku teks mekanik quantum akan ditulis semula dalam laras bahasa teori maklumat quantum.

Akhir kata, banyak yang boleh kita pelajari daripada masalah EPR pada abad yang lepas sehingga membangunkan suatu sains baharu dalam sains maklumat quantum, walaupun realiti quantum masih kita belum fahami.

Catatan tambahan: Bagi mereka yang ingin tahu lebih lanjut perkembangan konsep fizik quantum, bolehlah rujuk kepada buku Auletta tersenarai di bawah (dengan prakata pemenang Hadiah Nobel Fizik, G. Parisi)

Rujukan:

• https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2022/press-release/
• A. Einstein, B. Podolsky & N. Rosen, "Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete?", Phys. Rev. 47 (1935) 775-780.
• N. Bohr, "Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete?",  Phys. Rev. 48 (1935) 696-702.
• O. Cohen, "Nonlocality of the Original Einstein-Podolsky-Rosen State", Phys. Rev. A 56 (1997) 3484-3492.
• D. Bohm, Quantum Theory, (Prentice-Hall, 1951) pp 614-623.
• https://en.wikipedia.org/wiki/John_Stewart_Bell 
• J.S. Bell, "On the Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics", Rev. Mod. Phys. 38 (1966) 447-452.
• https://en.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann 
• J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, (Princeton University Press, 1955) - terjemahan dari buku asal dalam bahasa Jerman terbit pada 1932.
• https://en.wikipedia.org/wiki/Grete_Hermann 
• E. Crull & G. Bacciagaluppi (eds.), Grete Hermann - Between Physics and Philosophy, (Springer, 2016)
• N.D. Mermin & R. Schack, "Homer Nodded: Von Neumann's Surprising Oversight", Found. Phys. 48 (2018) 1007-1020. 
• https://en.wikipedia.org/wiki/John_Clauser 
• J.F. Causer, M.A. Horne, A. Shimony & R.A. Holt, "Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories", Phys. Rev. Lett. 23 (1969) 880-884. 
• https://en.wikipedia.org/wiki/Alain_Aspect 
• A. Aspect, J. Dalibard & G. Roger, "Experiment Test of Bell's Inequalities Using Time-Varying Analyzers", Phys. Rev. Lett. 49 (1982) 1804-1807.
• https://en.wikipedia.org/wiki/Bell_test 
• https://en.wikipedia.org/wiki/Anton_Zeilinger 
• D. Bouwmeester, J-W Pan, K. Mattle, M. Eibl, H. Weinfurter & A. Zeilinger, "Experimental Quantum Teleportation", Nature 390 (1997) 575-579.
• X-S Ma, T. Herbst, T. Scheidl, D. Wang, S. Kropatschek, W. Naylor, B. Wittmann, A. Mech, J. Kofler, E. Anisimova, V. Makarov, T. Jennewein, R. Ursin & A. Zeilinger, "Quantum Teleportation Over 143 Kilometres Using Active Feed-Forward", Nature 489 (2012) 269-273.
• J-W. Pan, D. Bouwmeester, H. Weinfurter & A. Zeilinger, "Experimental Entanglement Swapping: Entangling Photons That Never Interacted", Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 3891-3894.
• D.M. Greenberger, M.A. Horne & A. Zeilinger, "Multiparticle Interferometry and the Superposition Principle", Physics Today 46 (1993) 22-29.
• D.M. Greenberger, M.A. Horne & A. Zeilinger, "Going Beyond Bell's Theorem" in Bell's Theorem, Quantum Theory and Conceptions of the Universe, (ed.) M. Kafatos (Kluwer 1989) pp 69-72.
• M.A. Nielsen & I. Chiang, Quantum Computation and Quantum Information, (Cambridge University Press, 2010) p. 94.
• G.M. d'Ariano, G. Chiribella & P. Perinotti, Quantum Theory From First Principles: An Informational Approach, (Cambridge University Press) p15.
• J. Preskill, "Quantum Computing and the Entanglement Frontier" (arXiv: 1203.5813)
• P.S. Choong, H. Zainuddin, K.T. Chan & Sh. K. Said Husain, "Higher-Order Singular Value Decomposition and the Reduced Density Matrices of Three Qubits", Q. Info. Process. 19 (2020) 338 (21pp).
• S. Molladavoudi & H. Zainuddin, "Poincare Polynomials for Abelian Symplectic Quotients of Pure r-Qubits via Wall-Crossings", J. Geom. Phys. 96 (2015) 26-35.
• B. Coecke & R. Duncan, "Interacting Quantum Observables: Categorical Algebra and Diagrammatics", New J. Phys. 13 (2011) 043016 (86pp)
• N. Laflorencie, "Quantum Entanglement in Condensed Matter Systems", Phys. Reports 646 (2016) 1-59.
• G. Auletta, Foundations and Interpretation of Quantum Mechanics - In the Light of a Critical-Historical Analysis of the Problems and of a Synthesis of the Results, (World Scientific, 2001)
• https://en.wikipedia.org/wiki/Giorgio_Parisi 

Pencirian Ruang dan Model Sullivan

Pada 23 Mac 2022, Norwegian Academy of Science (Akademi Sains Norway) mengumumkan penganugerahan Hadiah Abel 2022 kepada Dennis Sullivan, seorang ahli topologi Amerika, penyandang kerusi profesor Albert Einstein di City University of New York dan profesor ulung di Stony Brook University. Penganugerahan Hadiah Abel ini adalah atas sumbangann teknik baharu beliau dalam bidang topologi yang melibatkan aspek-aspek aljabar, geometri dan sistem dinamik.

Hantaran blog ini akan fokus kepada salah satu penemuan awal beliau iaitu dalam teori homotopi pecahan (rational homotopy theory). Sebelum menjurus kepada topik ini, kita perlu sedikit gambaran apakah topologi secara mudah. Topologi berkait rapat dengan konsep ruang yang banyak dibincang dalam fizik seperti ruang-masa, ruang fasa (ruang kedudukan bersama halaju) dan tidak terhad kepada ruang yang nampak. Ruang momentum, contohnya, sangat penting dalam membincangkan cirian bahan-bahan topologi dalam sains bahan. Dalam membincang topologi, lazimnya kita akan diberi contoh cawan itu sama dengan donat (lihat gambarajah).

Proses yang terlibat yang menyamakan dua objek di atas adalah canggaan (proses yang mengandaikan keselanjaran). Oleh yang demikian, topologi kadangkala diberi gelaran geometri bak getah. Aspek topologi yang cuba digambarkan di atas adalah berapa lubang yang ada pada permukaan cawan dan permukaan donat (iaitu satu). Permukaan yang lebih kaya cirinya adalah permukaan pretzel atau dwitorus (dwidonat) dengan dua lubang (gambarajah di bawah).

Bilangan lubang pada permukaan secara matematik dipanggil genus. Ada dua perkara asas di sini: (i) konsep permukaan iaitu ruang dua dimensi; dan (ii) pengiraan genus yang melibatkan nombor tabii atau lebih umum integer. Objek-objek yang berlainan dimensi dikatakan mempunyai topologi berbeza seperti titik dimensi sifar berbeza dengan garisan lengkung satu-dimensi yang berbeza pula dengan permukaan sfera dua dimensi.

Lazimnya ahli fizik akan membincangkan geometri bersifat selanjar seperti permukaan sfera. Sifat keselanjaran di sini adalah suatu sifat tambahan. Wujud geometri yang lebih ganjil seperti 'geometri sikat' yang muncul daripada penambahan garis tegak kepada titik-titik tertentu pada garis ufuk yang mana konsep dimensi sendiri menjadi masalah bagi objek sikat ini.

Jika garis tegak ditambah pada setiap titik garis mengufuk, maka kita perolehi objek dua dimensi (satah) daripada objek satu dimensi (garis). Seterusnya, jika ditambah dengan satah pada setiap titik garisan, maka kita peroleh objek tiga dimensi (kotak).

Proses membentuk objek berdimensi tinggi sebegini penting dalam membentuk apa yang kini dipanggil sebagai kompleks-CW - boleh kita analogikan dengan kompleks pasaraya dibina dengan kedai-kedai yang lebih kecil di dalamnya.

Berbalik kepada aspek pengiraan genus permukaan dan pengitlakannya kepada dimensi tinggi (perlu imaginasi secara abstrak), dapat diungkapkan dengan menggunakan bilangan belitan (winding numbers) seperti dalam gambarajah di bawah.

Lengkung 0 (hitam) dikatakan mempunyai bilangan belitan sifar kerana lengkung ini dapat dicangga menjadi satu titik dan tidak menggambarkan adanya lubang pada donat ini. Manakala lengkung 1 (merah) dan 2 (biru) tidak dapat dicangga ke satu titik kerana kehadiran lubang dalam donut dan dikatakan mempunyai bilangan belitan satu. Malah lengkung 1 tidak dapat dicangga kepada lengkung 2 dan dianggap belitan yang berbeza. Bagi gambarajah kanan pula adalah lengkung bilangan belitan 2 tetapi mempunyai orientasi berbeza; satu kita kata sebagai bilangan belitan +2, manakala yang lagi satu adalah bilangan belitan -2. Penting di sini adalah idea belitan ini dapat diunkapkan dengan suatu integer (termasuk yang negatif).

Terdapat dua jenis konsep yang terlibat dalam gambarajah di atas. Pertama, konsep canggaan lengkung menjadi asas (dan pengitlakannya) kepada teori homotopi. Kedua, lengkung 1 dan 2 menggambarkan dua jenis rendaman subruang (subspace immersion) satu dimensi bagi donat ini dan ini berkait dengan teori homologi berkaitan subruang yang ada pada permukaan donat (juga dianggap sebagai subruang dua dimensi/subset bagi objek donat). Kedua-dua teori ini menjadi perkakasan atau kaedah pencirian dalam topologi yang berbeza. Teori homotopi mempunyai kelebihan aspek intuitif, namun kepelbagaian jenis canggaan yang mungkin, menyebabkan ia lebih sukar untuk dikaji. Teori homologi pula mempunyai kebolehan pengiraan yang lebih baik dan dianggap lebih mudah berbanding homotopi (lihat perbincangan di bawah).

Pengiraan melibatkan homologi juga dapat diungkapkan dalam kamiran. Sebagai contoh, bilangan belitan n dapat diungkap seperti berikut:

Perhatikan di sini, tiada apa-apa kekangan untuk mengambil nilai n yang bukan integer. Malah secara umum, kita ada teori kamiran yang menyatakan

yang mana hanya memerlukan kekangan dimensi subruang C adalah sama pangkat dengan bebentuk pembeza (differential form). Di sini C adalah suatu objek homologi manakala d𝜔 adalah pasangan objek dalam teori kohomologi (ruang dual kepada homologi). Objek bebentuk pembeza ini sememangnya mengandaikan keselanjaran dalam kuantiti 𝜔 yang mengambil nilai dalam nombor nyata.

Secara teknikal, peralihan daripada bilangan belitan yang bersifat integer ke nilai kamiran yang bersifat nombor nyata menunjukkan apa yang diperlukan adalah sifat abstrak bagi nombor iaitu suatu kumpulan objek yang mematuhi x + y = y + x (secara teknikal dipanggil kumpulan Abelan). Selain daripada itu, konsep pangkat bagi bebentuk pembeza membentuk suatu aljabar bergred (graded algebra). Sifat ini turut dipatuhi oleh nombor pecahan (nombor nisbah). Dari perbincangan nombor belitan di atas, kita tahu pula ada pertalian antara teori homotopi dan teori homologi. Di sinilah Dennis Sullivan mengagahkan idea beliau untuk membentuk suatu teori homotopi pecahan (rational homotopy theory) dengan mencari pertalian suatu aljabar bergred bagi suatu ruang X yang dipanggil ruang Sullivan manakala ruang aljabar bergred disebut sebagai modelnya.

Rujukan:

• D. Sullivan, "Infinitesimal Computations in Topology", Publ. IHES 47 (1977) 261-331.
• D. Sullivan, "Geometric Topology: Localization, Periodicity, and Galois Symmetry", (MIT Notes, 1970).
• Y. Felix & S. Halperin, "Rational Homotopy Theory via Sullivan Models: A Survey", Notices of the ICCM 5 (2017) 14-36.
• K. Hess, "A History of Rational Homotopy Theory" in History of Topology, (peny.) I. James, (Elsevier, 1999) 757-796.
• P.A. Griffiths & J.W. Morgan, Rational Homotopy Theory and Differential Forms, (Birkhauser, 1977).
• N. Hungerbuhler & M. Wasem, "Non-Integer Valued Winding Numbers and a Generalized Residue Theorem", Hindawi J. Maths. 2019 (2019) 6130464.

Roger Penrose dan Penyelidikan Hadiah Nobel Fizik 2020

Pada 6 Oktober 2020, telah diumumkan pemenang Hadiah Nobel Fizik 2020 iaitu Roger Penrose serta Reinhard Genzel dan Andrea Ghez, masing-masing ke atas penemuan pembentukan lohong hitam (black hole) sebagai ramalan teori kerelatifan am dan penemuan objek supermasif pada pusat galaksi kita. Keputusan yang mengangkat Sir Roger Penrose sebagai penerima anugerah Hadiah Nobel menggembirakan para ahli teori fizik khususnya yang menjurus bidang teknikal fizik matematik.

Apakah sebenarnya pencapaian Penrose dalam penganugerahan ini? Secara ringkas, Penrose telah mengenengahkan teknik matematik baharu dalam teori kerelatifan am (secara khusus ianya topologi kebezaan). Teori kerelatifan am merupakan suatu teori yang bersifat geometri yang mana kesan graviti diungkapkan sebagai kesan kelengkungan ruang dan masa. Dengan itu pelajar kerelatifan am akan lazimnya mempelajari teknik geometri kebezaan dengan objek tensor yang mengitlakkan objek geometri vektor. Lazimnya objek tensor itu ditulis dalam bentuk komponen yang bergantung kepada penggunaan koordinat. Kita sedia maklum bahawa koordinat hanyalah merupakan binaan matematik bagi memudahkan pengiraan. Contohnya rangka koordinat x,y,z lazimnya dipilih mengikut kemudahan pemodelan suatu sistem fizikal dan rangka koordinat sedemikian boleh sahaja diganti rangka koordinat yang berbeza. Sebaik-baiknya suatu formulasi teori tidak memerlukan koordinat secara terus dan paling tidak membolehkan transformasi koordinat dalam formulasi tersebut. Pemilihan koordinat juga boleh bergantung kepada sifat simetri sistem fizikal. Contohnya sistem berputar lebih baik diperihal dalam koordinat kutub sfera (r,θ,φ). Walau bagaimanapun koordinat sedemikian akan menghasilkan suatu masalah lain -- jika kita pertimbangkan asalan koordinat (x,y,z) = (0,0,0), apakah koordinat sudutnya? Kita dapati koordinat sudutnya tidak tertakrif dan ini hanya adalah suatu artifak penggunaan koordinat kutub sfera.

Perihalan lohong hitam tidak terlepas daripada masalah koordinat seperti yang tersebut di atas. Antara penyelesaian lohong hitam yang awal datang daripada penyelesaian Schwarzschild. Dalam penyelesaian ini, wujud apa yang dipanggil sebagai ufuk peristiwa (menyebabkan cahaya tidak dapat melepasi titik ini) dan ianya diberi oleh jejari Schwarzschild r = 2GM/c² . Jejari ini muncul sebagai suatu kesingularan dalam penyelesaian Schwarzschild. Diketahui umum bahawa jejari Schwarzschild bukanlah suatu kesingularan tetapi hanya suatu artifak koordinat yang digunakan; wujud koordinat lain (iaitu koordinat Eddigton-Finkelstein) yang dapat mengungkapkan peristiwa melampaui ufuk peristiwa. Walau bagaimanapun kesingularan fizikal tetap menjadi ciri lohong hitam yang lazimnya melibatkan kelengkungan atau daya graviti yang tak terhingga. Pengajaran yang boleh diambil di sini ialah bukan mudah untuk mengungkapkan idea kesingularan dalam lohong hitam, apatah lagi mengatakan lohong hitam itu sebagai suatu objek yang diramalkan oleh teori kerelatifan am.

Ada beberapa permasalahan di sini; antaranya bagaimana ingin mengungkapkan kesingularan tanpa merujuk kepada geometri atau penyelesaian atau simetri yang khusus (seperti dalam penyelesaian Schwarzschild). Selainnya apakah sifat intrinsik teori kerelatifan am yang membawa kesingularan itu sendiri dan jugakah apakah takrifan kesingularan terbaik tanpa merujuk kepada apa-apa geometri dan koordinat. Dalam hierarki struktur matematik, topologi merupakan bidang matematik yang kurang strukturnya berbanding geometri iaitu menekankan keselanjaran dan tidak kepada bentuk (panjang dan sudut). Struktur intrinsik yang perlu kepada teori kerelatifan umum adalah struktur kon cahaya yang membahagikan lintasan zarah kepada tiga iaitu bak-masa, bak-cahaya dan bak-ruang. Asal usul pembahagian ini datang daripada pembahagian panjang dalam ruang-masa diberi oleh kuantiti ds² = dt² - dx² - dy² - dz² yang boleh jadi positif, sifar atau negatif (tidak seperti panjang Euclid ds² = dx² + dy² + dz² yang sentiasa positif). Zarah foton misalnya akan sentiasa mengambil lintasan bak cahaya. Bagi permasalahan terakhir yang disebut di atas adalah konsep kesingularan yang paling umum iaitu yang diberi oleh lintasan yang tidak lengkap (incomplete) yang secara intuitif merujuk kepada lintasan yang tidak dapat berterusan tanpa melampaui ruang-masa. Lintasan sedemikian dapat dikaitkan dengan pelbagai bentuk masalah seperti kelengkungan tidak terhingga dan sebagainya.

Berbekalkan topologi (ruang Lorentz), lintasan bak cahaya dan kesingularan, Penrose seterusnya mengemukakan konsep permukaan terperangkap tertutup (closed trapped surfaces) yang mana permukaan ini dibentuk oleh dua lintasan bak cahaya yang terperangkap oleh medan graviti (seperti lintasan yang tidak melepasi halaju lepasan). Ilustrasi permukaan terperangkap tertutup adalah seperti gambarajah kedua di bawah (gambarajah pertama menunjukkan permukaan biasa). Dua lintasan bak cahaya yang dirujuk adalah sisi kon cahaya. Bagi permukaan biasa, satu lintasan akan memasuki ruang permukaan manakala yang lagi satu lintasan meninggalkan permukaan. Dalam kes gambarajah kedua, kedua-dua lintasan diperangkap dalam permukaaan tersebut.

Sumber: arXiv: hep-th/9409105

Berbekalkan konsep ini, Penrose menyatakan bahawa jika ruang-masa mempunyai syarat sempadan awal tertentu, mengandungi permukaan terperangkap tertutup besertakan syarat lintasan menumpu, maka akan ada lintasan yang tidak lengkap (kesingularan). Secara tidak langsung, ini membawa kepada idea lohong hitam sebagai suatu akibat teori kerelatifan am jika medan graviti cukup kuat (tanpa apa-apa andaian geometri khusus). Keputusan ini dikenali sebagai teorem kesingularan Penrose (makalah yang mengulas teorem ini dengan lebih terperinci ada dibuat oleh Senovilla dan Garfinkle (2015) - sila lihat rujukan di bawah). Dengan kaedah topologi yang dipelopori oleh Penrose ini, teori kerelatifan am ini telah mendapat nafas baru. Beberapa kemajuan lain turut dibuat oleh para pakar kerelatifan lain seperti Hawking, Ellis, Geroch dan Wald yang mengkaji struktur ruang-masa secara global termasuklah aspek deguman gedang (big bang).

Rujukan dan Catatan:

1. https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2020/summary/ - Pengumuman Hadiah Nobel Fizik 2020.
2. Roger Penrose, Techniques of Differential Topology in Relativity, (Society for Industrial and Applied Mathematics, 1972) - Monograf ini memberi pengenalan teknikal kepada teknik topologi dalam teori kerelatifan am yang dipelopori oleh Roger Penrose.
3. Stephen Hawking & Roger Penrose, The Nature of Space and Time, (Princeton University Press, 1996) - Buku ini memberi sedikit sebanyak pengenalan popular kepada kaedah topologi dalam kerelatifan am serta perdebatan sifat kuantum ruang-masa antara Penrose dan Hawking. Bahagian kuliah Hawking boleh dicapai di https://arxiv.org/abs/hep-th/9409195.
4. Roger Penrose, "Asymptotic Properties of Fields and Space-Time", Phys. Rev. Lett. 10 (1963) 66-68 - Makalah awal yang mula membincangkan teknik topologi untuk ruang-masa khusunya mengenai conformal infinity.
5. Roger Penrose, "Gravitational Collapse and Space-Time Time Singularities", Phys. Rev. Lett. 14 (1965) 57-59 - Makalah awal yang membawa kepada penganugerahan Hadiah Nobel kepada Roger Penrose.
6. J.M.M. Senovila & D. Garfinkle, "The 1965 Penrose Singularity Theorem", Class. Quantum Grav. 32 (2015) 124008 (45pp) - Makalah yang mengulas secara terperinci teorem Penrose. Juga boleh dicapai di https://arxiv.org/abs/1410.5226.
7. https://johncarlosbaez.wordpress.com/2020/10/08/roger-penroses-nobel-prize/ - Makalah blog John Baez yang turut mengulas penganugerahan Hadian Nobel kepada Roger Penrose.
8. S.W. Hawking & G.F.R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-Time, (Cambridge University Press, 1973) - Buku Hawking & Ellis turut memperkenalkan teknik topologi dalam teori kerelatifan am dengan lebih terperinci. Buku ini saya guna ketika pengajian Part III saya di University of Cambridge.
9. Robert Wald, General Relativity, (University of Chicago Press, 1984) - Buku ini turut menekankan aspek topologi dalam kerelatifan umum.